3 • Postulats de la physique statistique
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difficile que l’on peut illustrer schématiquement de la manière suivante dans le cas d’un
système à une dimension : supposons, compte tenu des contraintes extérieures qui lui sont
imposées, qu’un système à une dimension puisse accéder à une surface S de son espace
de phase. Au cours du temps, le point représentatif du système va décrire une trajectoire
contenue dans S, allant d’un point à l’autre chaque fois qu’il passe d’un micro-état à un
autre. Le postulat 2 suppose que tous les micro-états accessibles sont explorés et que le
système reste le même temps dans chacun d’entre eux. Mathématiquement, cela revient à
trouver une courbe qui ne se coupe pas elle-même et qui couvre toute la surface S.
Pour expliciter un peu plus le second postulat de la physique statistique, plaçons-nous
dans le cadre de la mécanique classique et considérons une grandeur macroscopique
quelconque y associée à un système de N particules. Cette grandeur dépend des coordonnées q i et des impulsions p i de chaque particule. Elle dépend donc du temps t car les
coordonnées et les impulsions sont des fonctions du temps. La moyenne dans le temps
de la grandeur y est définie par :
t = lim
t →∞
1
t
t
0
y(t
) dt
(1)
Considérons à présent un ensemble {E} de N systèmes au temps t. La moyenne de la
variable y, prise sur l’ensemble {E}, est égale à :
=
1
N
N
i=1
y i (t)
( 2 )
où y i (t) est la valeur de y(t) pour le système i appartenant à l’ensemble {E}. Le second
postulat pose que t = par hypothèse.
3.2 L’ENTROPIE STATISTIQUE
Nous avons déjà remarqué que V(E), le nombre de micro-états accessibles à un système
dont l’énergie est égale à E, est une quantité importante en physique statistique. Nous
allons maintenant préciser ceci de manière quantitative en reliant V(E) à une quantité
qui nous est familière en thermodynamique : l’entropie. Il faut noter que V(E) est un
nombre extrêmement grand pour les systèmes macroscopiques dont la température n’est
pas proche du zéro absolu. Nous avons déjà indiqué (équation (10), chapitre 2) que
V(E) ∝ E f , où f est le nombre de degrés de liberté du système. Voyons ceci plus précisément sur un exemple simple.
Exemple. Soit un ensemble de particules de spin
1
2 n’interagissant pas entre-elles et disposées
linéairement sur un axe donné. La projection du spin sur l’axe z, que l’on choisit orthogonal au
précédent, peut prendre deux valeurs, ±
1
2 . En l’absence de champ magnétique extérieur, les deux
valeurs de la projection sont équiprobables. Si on a N particules, le nombre de micro-états est
égal à 2
N car, pour chacune d’entre elles, la projection du spin peut prendre deux valeurs indépendantes. Si N = N = 6, 02 10
23 , nous aurons 2
6 10
23 = 10
1,8 10
23 micro-états différents. Pour écrire
un tel nombre, à raison de 5 chiffres par cm, il faudrait 3, 6 10
20 m soit 3, 8 10
4 années lumières
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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difficile que l’on peut illustrer schématiquement de la manière suivante dans le cas d’un
système à une dimension : supposons, compte tenu des contraintes extérieures qui lui sont
imposées, qu’un système à une dimension puisse accéder à une surface S de son espace
de phase. Au cours du temps, le point représentatif du système va décrire une trajectoire
contenue dans S, allant d’un point à l’autre chaque fois qu’il passe d’un micro-état à un
autre. Le postulat 2 suppose que tous les micro-états accessibles sont explorés et que le
système reste le même temps dans chacun d’entre eux. Mathématiquement, cela revient à
trouver une courbe qui ne se coupe pas elle-même et qui couvre toute la surface S.
Pour expliciter un peu plus le second postulat de la physique statistique, plaçons-nous
dans le cadre de la mécanique classique et considérons une grandeur macroscopique
quelconque y associée à un système de N particules. Cette grandeur dépend des coordonnées q i et des impulsions p i de chaque particule. Elle dépend donc du temps t car les
coordonnées et les impulsions sont des fonctions du temps. La moyenne dans le temps
de la grandeur y est définie par :
t →∞
1
t
t
0
y(t
) dt
(1)
Considérons à présent un ensemble {E} de N systèmes au temps t. La moyenne de la
variable y, prise sur l’ensemble {E}, est égale à :
1
N
N
i=1
y i (t)
( 2 )
où y i (t) est la valeur de y(t) pour le système i appartenant à l’ensemble {E}. Le second
postulat pose que
3.2 L’ENTROPIE STATISTIQUE
Nous avons déjà remarqué que V(E), le nombre de micro-états accessibles à un système
dont l’énergie est égale à E, est une quantité importante en physique statistique. Nous
allons maintenant préciser ceci de manière quantitative en reliant V(E) à une quantité
qui nous est familière en thermodynamique : l’entropie. Il faut noter que V(E) est un
nombre extrêmement grand pour les systèmes macroscopiques dont la température n’est
pas proche du zéro absolu. Nous avons déjà indiqué (équation (10), chapitre 2) que
V(E) ∝ E f , où f est le nombre de degrés de liberté du système. Voyons ceci plus précisément sur un exemple simple.
Exemple. Soit un ensemble de particules de spin
1
2 n’interagissant pas entre-elles et disposées
linéairement sur un axe donné. La projection du spin sur l’axe z, que l’on choisit orthogonal au
précédent, peut prendre deux valeurs, ±
1
2 . En l’absence de champ magnétique extérieur, les deux
valeurs de la projection sont équiprobables. Si on a N particules, le nombre de micro-états est
égal à 2
N car, pour chacune d’entre elles, la projection du spin peut prendre deux valeurs indépendantes. Si N = N = 6, 02 10
23 , nous aurons 2
6 10
23 = 10
1,8 10
23 micro-états différents. Pour écrire
un tel nombre, à raison de 5 chiffres par cm, il faudrait 3, 6 10
20 m soit 3, 8 10
4 années lumières
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.