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Physique statistique
(1 année lumière ≈ 9, 5 10
15 m). Cette longueur gigantesque représente approximativement le
rayon de notre galaxie.
Comme V(E) est un nombre extrêmement grand, on préfère utiliser son logarithme népérien Log V(E). En effet, dans l’exemple précédent, Log V(E) = 4, 16 10 23 et il suffit
de 24 chiffres pour écrire ce nombre. La fonction logarithme étant monotone croissante,
on ne change pas le sens de variation de V(E). La quantité V(E) est sans dimension mais
l’expression :
S = k Log V(E)
( 3 )
où k est la constante de Boltzmann, a la dimension de l’entropie thermodynamique. Pour
cette raison, la quantité S, définie par l’équation (3), est appelée entropie statistique. Elle
est définie pour un système en équilibre. On peut montrer, et nous l’admettrons sans
démonstration, qu’on peut l’identifier à l’entropie thermodynamique dont elle constitue
la définition microscopique. De l’équation (3) on déduit :
V(E) = e
S
k
(4)
3.3 NOTIONS DE THÉORIE DE L’INFORMATION
3.3.1 L’information
Il existe une branche des mathématiques qui s’intéresse à l’information contenue dans un
système probabiliste. Nous allons en donner ici quelques notions élémentaires. Comme
nous le verrons tout au long de cet ouvrage, la théorie de l’information peut être utilisée
pour construire la physique statistique.
L’information est une quantité liée à la connaissance d’une situation. Pour préciser
plus quantitativement cette notion, considérons un problème où l’on a le choix entre N
possibilités. Par exemple, nous avons N boîtes à notre disposition, et nous plaçons une
boule dans l’une d’entre elles. Nous supposons que la boule est obligatoirement dans
une boîte et dans une seule. On peut imaginer deux cas extrêmes :
• toutes les boîtes sont équiprobables. La probabilité de trouver une boule dans une
boîte donnée est alors égale à
1
N
.
• la personne qui réalise l’opération fait une marque visible sur la boîte où se trouve la
boule, ce qui nous permet de la trouver à coup sûr.
Il est clair que dans le second cas nous avons plus d’informations sur le système que
dans le premier. Ainsi, si nous avions parié de l’argent dans cette épreuve, nous serions
sûrs de gagner dans le second cas. Dans la première situation, notre impossibilité de
choisir à coup sûr le bon résultat, parmi les N possibilités, reflète un manque d’information sur le système. Nous allons introduire une quantité I qui va nous permettre de
chiffrer cette information manquante.
Physique statistique
(1 année lumière ≈ 9, 5 10
15 m). Cette longueur gigantesque représente approximativement le
rayon de notre galaxie.
Comme V(E) est un nombre extrêmement grand, on préfère utiliser son logarithme népérien Log V(E). En effet, dans l’exemple précédent, Log V(E) = 4, 16 10 23 et il suffit
de 24 chiffres pour écrire ce nombre. La fonction logarithme étant monotone croissante,
on ne change pas le sens de variation de V(E). La quantité V(E) est sans dimension mais
l’expression :
S = k Log V(E)
( 3 )
où k est la constante de Boltzmann, a la dimension de l’entropie thermodynamique. Pour
cette raison, la quantité S, définie par l’équation (3), est appelée entropie statistique. Elle
est définie pour un système en équilibre. On peut montrer, et nous l’admettrons sans
démonstration, qu’on peut l’identifier à l’entropie thermodynamique dont elle constitue
la définition microscopique. De l’équation (3) on déduit :
V(E) = e
S
k
(4)
3.3 NOTIONS DE THÉORIE DE L’INFORMATION
3.3.1 L’information
Il existe une branche des mathématiques qui s’intéresse à l’information contenue dans un
système probabiliste. Nous allons en donner ici quelques notions élémentaires. Comme
nous le verrons tout au long de cet ouvrage, la théorie de l’information peut être utilisée
pour construire la physique statistique.
L’information est une quantité liée à la connaissance d’une situation. Pour préciser
plus quantitativement cette notion, considérons un problème où l’on a le choix entre N
possibilités. Par exemple, nous avons N boîtes à notre disposition, et nous plaçons une
boule dans l’une d’entre elles. Nous supposons que la boule est obligatoirement dans
une boîte et dans une seule. On peut imaginer deux cas extrêmes :
• toutes les boîtes sont équiprobables. La probabilité de trouver une boule dans une
boîte donnée est alors égale à
1
N
.
• la personne qui réalise l’opération fait une marque visible sur la boîte où se trouve la
boule, ce qui nous permet de la trouver à coup sûr.
Il est clair que dans le second cas nous avons plus d’informations sur le système que
dans le premier. Ainsi, si nous avions parié de l’argent dans cette épreuve, nous serions
sûrs de gagner dans le second cas. Dans la première situation, notre impossibilité de
choisir à coup sûr le bon résultat, parmi les N possibilités, reflète un manque d’information sur le système. Nous allons introduire une quantité I qui va nous permettre de
chiffrer cette information manquante.