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Physique statistique
3.1.2 Postulat 2 : Hypothèse ergodique
À un instant donné, un système macroscopique en équilibre se trouve dans un micro-état
et un seul. Au cours du temps, le système change de micro-état par suite des interactions
résiduelles qui sont associées à l’incertitude dE sur l’énergie. Si on regarde le système
pendant un temps infini (ou très long), on doit trouver que le temps passé dans chacun
des micro-états est le même pour tous. C’est le premier postulat énoncé plus haut. Au
lieu de considérer un seul système, et de suivre son évolution dans le temps, on peut
considérer un ensemble de systèmes à un instant donné. Cet ensemble est construit de
manière à ce que la probabilité d’obtenir l’un d’entre eux dans un micro-état particulier
soit la même quel que soit le micro-état considéré. Si l’ensemble est constitué de N → ∞
systèmes, il y en a
N
V(E)
dans chaque micro-état. La probabilité d’observer un système
dans un micro-état particulier est encore
1
V(E)
. En physique statistique, une collection
de systèmes qui sont des répliques exactes, au niveau macroscopique, du système initial
est appelé un ensemble. L’énoncé du second postulat est le suivant :
La moyenne dans le temps d’un paramètre quelconque est égale à la moyenne
de ce paramètre prise sur un ensemble de systèmes.
Ce postulat, appelé parfois hypothèse ergodique, est très lié au premier postulat car il
suppose implicitement l’équiprobabilité des micro-états. On peut le comprendre très
simplement de la manière suivante :
Analogie. Considérons un dé non truqué. Cet objet a six états accessibles qui sont associés à
chacune de ses six faces. La probabilité d’observer l’une d’entre elles est égale à
1
6
. On peut
étudier ce système en lançant plusieurs fois le dé et en notant le résultat obtenu. Par exemple, on
peut faire une mesure pendant 10
4 s en lançant le dé toutes les 10 s, ce qui fait N = 10
3 essais. À
la fin de l’expérience, on aura obtenu N 1 fois la valeur 1, N 2 fois la valeur 2, . . . , N 6 fois la valeur
6. Bien entendu on a N 1 + N 2 + . . . + N 6 = 10
3 . La probabilité d’obtenir la valeur i est égale à
N i
N
.
Lorsque N → ∞, cette valeur tend vers
1
6
. Cette manière de procéder, avec un seul dé que l’on
jette plusieurs fois pour évaluer la loi de probabilité, revient à faire une moyenne dans le temps
sur un seul système.
On peut réaliser la même mesure en prenant un ensemble de N dés identiques et en les jetant
une seule fois. Dans ce cas, N 1 dés indiqueront la valeur 1, N 2 la valeur 2, etc.. La probabilité
d’obtenir la valeur i sera égale à
N i
N
. Cette manière de procéder, avec un ensemble de dés que
l’on jette une seule fois, revient à faire une moyenne sur un ensemble.
L’hypothèse ergodique suppose que lorsque N → ∞ les deux expériences conduisent au même
résultat.
Remarque. Le postulat, selon lequel tous les micro-états accessibles au système sont
équiprobables, semble une hypothèse raisonnable à première vue. Néanmoins, dans le cas
général, elle n’a pas encore reçue de justification mathématique et constitue le problème
de base des théories dites ergodiques. En effet, elle pose un problème mathématique très
Physique statistique
3.1.2 Postulat 2 : Hypothèse ergodique
À un instant donné, un système macroscopique en équilibre se trouve dans un micro-état
et un seul. Au cours du temps, le système change de micro-état par suite des interactions
résiduelles qui sont associées à l’incertitude dE sur l’énergie. Si on regarde le système
pendant un temps infini (ou très long), on doit trouver que le temps passé dans chacun
des micro-états est le même pour tous. C’est le premier postulat énoncé plus haut. Au
lieu de considérer un seul système, et de suivre son évolution dans le temps, on peut
considérer un ensemble de systèmes à un instant donné. Cet ensemble est construit de
manière à ce que la probabilité d’obtenir l’un d’entre eux dans un micro-état particulier
soit la même quel que soit le micro-état considéré. Si l’ensemble est constitué de N → ∞
systèmes, il y en a
N
V(E)
dans chaque micro-état. La probabilité d’observer un système
dans un micro-état particulier est encore
1
V(E)
. En physique statistique, une collection
de systèmes qui sont des répliques exactes, au niveau macroscopique, du système initial
est appelé un ensemble. L’énoncé du second postulat est le suivant :
La moyenne dans le temps d’un paramètre quelconque est égale à la moyenne
de ce paramètre prise sur un ensemble de systèmes.
Ce postulat, appelé parfois hypothèse ergodique, est très lié au premier postulat car il
suppose implicitement l’équiprobabilité des micro-états. On peut le comprendre très
simplement de la manière suivante :
Analogie. Considérons un dé non truqué. Cet objet a six états accessibles qui sont associés à
chacune de ses six faces. La probabilité d’observer l’une d’entre elles est égale à
1
6
. On peut
étudier ce système en lançant plusieurs fois le dé et en notant le résultat obtenu. Par exemple, on
peut faire une mesure pendant 10
4 s en lançant le dé toutes les 10 s, ce qui fait N = 10
3 essais. À
la fin de l’expérience, on aura obtenu N 1 fois la valeur 1, N 2 fois la valeur 2, . . . , N 6 fois la valeur
6. Bien entendu on a N 1 + N 2 + . . . + N 6 = 10
3 . La probabilité d’obtenir la valeur i est égale à
N i
N
.
Lorsque N → ∞, cette valeur tend vers
1
6
. Cette manière de procéder, avec un seul dé que l’on
jette plusieurs fois pour évaluer la loi de probabilité, revient à faire une moyenne dans le temps
sur un seul système.
On peut réaliser la même mesure en prenant un ensemble de N dés identiques et en les jetant
une seule fois. Dans ce cas, N 1 dés indiqueront la valeur 1, N 2 la valeur 2, etc.. La probabilité
d’obtenir la valeur i sera égale à
N i
N
. Cette manière de procéder, avec un ensemble de dés que
l’on jette une seule fois, revient à faire une moyenne sur un ensemble.
L’hypothèse ergodique suppose que lorsque N → ∞ les deux expériences conduisent au même
résultat.
Remarque. Le postulat, selon lequel tous les micro-états accessibles au système sont
équiprobables, semble une hypothèse raisonnable à première vue. Néanmoins, dans le cas
général, elle n’a pas encore reçue de justification mathématique et constitue le problème
de base des théories dites ergodiques. En effet, elle pose un problème mathématique très