2 • Le monde microscopique
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6. De combien de manières différentes peut-on disposer N objets discernables dans N boîtes
différentes, sachant qu’on ne peut pas mettre plus d’un objet par boîte ?
7. Combien y a-t-il de manières différentes de mettre N objets discernables dans r boîtes différentes (l’ordre à l’intérieur de chaque boîte est sans importance) sachant qu’il y a N 1 objets dans
la boîte 1, N 2 dans la boîte 2,..., N r dans la boîte r ?
8. Combien existe-t-il de manières différentes de tirer m objets parmi N objets discernables ?
On traitera deux cas selon que l’ordre des tirages a ou n’a pas d’importance.
9. Combien y a-t-il de micro-états pour un système de N bosons identiques de spin nul placés
sur g niveaux différents ?
10. Combien y a-t-il de manières de placer N objets discernables dans g boîtes distinctes ?
11. On considère une particule de masse m qui se déplace sur un axe entre deux murs séparés
par une distance L.
1- On se place dans le cadre de la mécanique quantique et l’on suppose que les nombres quantiques mis en jeu sont grands :
a) Évaluer, f(E), le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure à E.
b) Calculer, V(E), le nombre de micro-états du système dont l’énergie est comprise entre E
et E + dE.
2- Faire la même évaluation en utilisant la physique statistique classique et comparer.
12. On considère une particule de masse m et d’énergie comprise entre E et E + dE. Elle est
enfermée dans une boîte de volume V. On suppose que E est suffisamment grande pour que le
nombre de micro-états accessibles au système puisse être calculé dans l’espace de phase classique. Calculer le nombre de micro-états accessibles à la particule :
a) si c’est un boson de spin 0.
b) si c’est un fermion de spin
1
2 .
13. On considère un oscillateur harmonique à une dimension. L’expression classique de son
énergie est donnée par l’équation (14).
1- Décrire le mouvement au cours du temps de l’oscillateur et en déduire une paramétrisation
simple des coordonnées p et q dans l’espace de phase. Quelle est la trajectoire de l’oscillateur
dans cet espace ? En donner les caractéristiques (amplitude de q, de p,..) en fonction de E.
2- Calculer le nombre de micro-états classiques accessibles à un oscillateur dont l’énergie est
comprise entre E et E + dE. On calculera tout d’abord le nombre total de micro-états accessibles
dont l’énergie est inférieure ou égale à E.
14. On considère un système formé de trois particules libres identiques, sans interaction mutuelle, se déplaçant sur l’axe Ox entre deux murs réfléchissants situés entre x = 0 et x = L.
Comme on suppose que leur énergie est très supérieure à ´ 0 (définie par l’équation donnée dans
l’exercice 5), le mouvement de ces trois particules discernables peut être traité de façon classique.
Chaque particule (i) est donc caractérisée par sa position x i et sa quantité de mouvement p i .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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6. De combien de manières différentes peut-on disposer N objets discernables dans N boîtes
différentes, sachant qu’on ne peut pas mettre plus d’un objet par boîte ?
7. Combien y a-t-il de manières différentes de mettre N objets discernables dans r boîtes différentes (l’ordre à l’intérieur de chaque boîte est sans importance) sachant qu’il y a N 1 objets dans
la boîte 1, N 2 dans la boîte 2,..., N r dans la boîte r ?
8. Combien existe-t-il de manières différentes de tirer m objets parmi N objets discernables ?
On traitera deux cas selon que l’ordre des tirages a ou n’a pas d’importance.
9. Combien y a-t-il de micro-états pour un système de N bosons identiques de spin nul placés
sur g niveaux différents ?
10. Combien y a-t-il de manières de placer N objets discernables dans g boîtes distinctes ?
11. On considère une particule de masse m qui se déplace sur un axe entre deux murs séparés
par une distance L.
1- On se place dans le cadre de la mécanique quantique et l’on suppose que les nombres quantiques mis en jeu sont grands :
a) Évaluer, f(E), le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure à E.
b) Calculer, V(E), le nombre de micro-états du système dont l’énergie est comprise entre E
et E + dE.
2- Faire la même évaluation en utilisant la physique statistique classique et comparer.
12. On considère une particule de masse m et d’énergie comprise entre E et E + dE. Elle est
enfermée dans une boîte de volume V. On suppose que E est suffisamment grande pour que le
nombre de micro-états accessibles au système puisse être calculé dans l’espace de phase classique. Calculer le nombre de micro-états accessibles à la particule :
a) si c’est un boson de spin 0.
b) si c’est un fermion de spin
1
2 .
13. On considère un oscillateur harmonique à une dimension. L’expression classique de son
énergie est donnée par l’équation (14).
1- Décrire le mouvement au cours du temps de l’oscillateur et en déduire une paramétrisation
simple des coordonnées p et q dans l’espace de phase. Quelle est la trajectoire de l’oscillateur
dans cet espace ? En donner les caractéristiques (amplitude de q, de p,..) en fonction de E.
2- Calculer le nombre de micro-états classiques accessibles à un oscillateur dont l’énergie est
comprise entre E et E + dE. On calculera tout d’abord le nombre total de micro-états accessibles
dont l’énergie est inférieure ou égale à E.
14. On considère un système formé de trois particules libres identiques, sans interaction mutuelle, se déplaçant sur l’axe Ox entre deux murs réfléchissants situés entre x = 0 et x = L.
Comme on suppose que leur énergie est très supérieure à ´ 0 (définie par l’équation donnée dans
l’exercice 5), le mouvement de ces trois particules discernables peut être traité de façon classique.
Chaque particule (i) est donc caractérisée par sa position x i et sa quantité de mouvement p i .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.