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Physique statistique
2. Oscillateur harmonique
Les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions sont donnés par
l’expression :
´ nx,ny,nz =
n x + n z + n z +
3
2
v
où n x , n y et n z sont des entiers positifs ou nuls.
1- Montrer que les niveaux d’énergie satisfont à la loi générale :
´ n =
n +
3
2
v
où n est un entier positif ou nul.
2- Calculer la dégénérescence des 5 premiers niveaux.
3- Déduire des résultats précédents, et de ceux relatifs à l’oscillateur harmonique à une dimension, les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique à 2 dimensions et le degré de dégénérescence des 5 premiers niveaux.
3. Particule libre dans un boîte cubique
On envisage successivement, pour une particule en mouvement de masse m, trois situations dans
lesquelles elle est contrainte à se déplacer :
a) Dans un espace à 1 dimension, entre deux murs infinis séparés par une distance L.
b) Dans un espace à deux dimensions, contenu dans un carré de côté L.
c) Dans une boîte cubique de côté L.
1- Donner, dans chacun des trois cas ci-dessus, l’expression des niveaux d’énergie.
2- Calculer la dégénérescence des 10 premiers niveaux et tracer le diagramme en énergie
correspondant.
4. Trois particules sont enfermées dans une boîte cubique de côté L. L’énergie totale du système
est 18´ 0 où ´ 0 est l’énergie de référence du système quantique.
1- Quelles sont les configurations permises pour le système si :
a) les particules sont discernables ?
b) les particules sont des bosons de spin 0, de spin 1 ?
c) les particules sont des fermions de spin
1
2 ?
2- Combien de micro-états sont-ils accessibles au système dans chaque cas ?
5. On considère trois particules libres de masse m, sans interaction mutuelle, se déplaçant sur
l’axe Ox entre deux murs réfléchissants x = 0 et x = L. L’énergie du système formé par les trois
particules est fixée :
E = 27´ 0 avec ´ 0 =
p
2
2
2mL 2
1- Comment doit-on, dans chaque cas, caractériser les micro-états si chacune de ces trois particules a un spin s ?
2- Combien dénombre-t-on de micro-états accessibles au système si :
a) les particules sont discernables (et sans spin) ?
b) ce sont des bosons de spin 1 ?
c) ce sont des fermions de spin
1
2 ?
Physique statistique
2. Oscillateur harmonique
Les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions sont donnés par
l’expression :
´ nx,ny,nz =
n x + n z + n z +
3
2
v
où n x , n y et n z sont des entiers positifs ou nuls.
1- Montrer que les niveaux d’énergie satisfont à la loi générale :
´ n =
n +
3
2
v
où n est un entier positif ou nul.
2- Calculer la dégénérescence des 5 premiers niveaux.
3- Déduire des résultats précédents, et de ceux relatifs à l’oscillateur harmonique à une dimension, les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique à 2 dimensions et le degré de dégénérescence des 5 premiers niveaux.
3. Particule libre dans un boîte cubique
On envisage successivement, pour une particule en mouvement de masse m, trois situations dans
lesquelles elle est contrainte à se déplacer :
a) Dans un espace à 1 dimension, entre deux murs infinis séparés par une distance L.
b) Dans un espace à deux dimensions, contenu dans un carré de côté L.
c) Dans une boîte cubique de côté L.
1- Donner, dans chacun des trois cas ci-dessus, l’expression des niveaux d’énergie.
2- Calculer la dégénérescence des 10 premiers niveaux et tracer le diagramme en énergie
correspondant.
4. Trois particules sont enfermées dans une boîte cubique de côté L. L’énergie totale du système
est 18´ 0 où ´ 0 est l’énergie de référence du système quantique.
1- Quelles sont les configurations permises pour le système si :
a) les particules sont discernables ?
b) les particules sont des bosons de spin 0, de spin 1 ?
c) les particules sont des fermions de spin
1
2 ?
2- Combien de micro-états sont-ils accessibles au système dans chaque cas ?
5. On considère trois particules libres de masse m, sans interaction mutuelle, se déplaçant sur
l’axe Ox entre deux murs réfléchissants x = 0 et x = L. L’énergie du système formé par les trois
particules est fixée :
E = 27´ 0 avec ´ 0 =
p
2
2
2mL 2
1- Comment doit-on, dans chaque cas, caractériser les micro-états si chacune de ces trois particules a un spin s ?
2- Combien dénombre-t-on de micro-états accessibles au système si :
a) les particules sont discernables (et sans spin) ?
b) ce sont des bosons de spin 1 ?
c) ce sont des fermions de spin
1
2 ?