2 • Le monde microscopique
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2.6 MICRO-ÉTATS CLASSIQUES
2.6.1 Configurations et micro-états classiques
En physique statistique quantique, nous avons défini un micro-état comme une configuration microscopique particulière du système. Si nous pouvons appliquer la mécanique
classique, et si nous voulons développer une physique statistique classique, il faut retrouver, pour une énergie totale donnée, le même nombre de micro-états classiques que dans
l’approche quantique. Cette contrainte nous interdit d’identifier un micro-état classique à
une configuration particulière de l’espace de phase. En effet, pour un système d’énergie
donnée, la mécanique classique prévoit, sauf cas particuliers, une infinité de configurations puisque les variables de l’espace de phase peuvent varier de manière continue.
Exemple. Revenons à l’étude d’une particule libre de masse m dans une boîte cubique et négligeons le spin qui est une notion n’ayant pas d’équivalent classique. Nous savons que le nombre
de micro-états quantiques accessibles au système, lorsque son énergie est comprise entre E et
E + dE, est fini. En effet, les micro-états sont caractérisés par l’ensemble des nombres quantiques
n x , n y et n z qui sont des entiers positifs satisfaisant aux inégalités :
E
p
2
2
2mL 2 (n
2
x + n
2
y + n
2
z ) E + dE
(16)
Le nombre de micro-états quantiques peut être très grand mais reste fini. La mécanique classique prévoit au contraire qu’il existe un nombre infini de configurations associées au problème
précédent. Elles sont données par les valeurs de x, y, z, p x , p y et p z qui satisfont aux conditions
suivantes :
0 x L, 0 y L, 0 z L et E
p
2
x
2m
+
p
2
y
2m
+
p
2
z
2m
E + dE
(17)
(même pour un oscillateur harmonique à une dimension (figure 7) il y a une infinité de points
(configurations) compris entre les ellipses associées à E et E + dE).
Il faut donc, à ce stade, introduire une hypothèse supplémentaire pour définir un microétat qui soit l’équivalent classique du micro-état quantique. Nous allons expliquer cette
hypothèse sur un exemple constitué d’une particule évoluant dans un espace à une dimension. Nous appellerons q la coordonnée et p l’impulsion. L’espace de phase associé
est à 2 dimensions et nous le subdiviserons en petites cellules rectangulaires de taille dq
et dp (figure 8). Nous appellerons micro-état classique l’ensemble des configurations qui
sont dans une cellule. À un micro-état classique correspond donc une infinité de configurations. Si les contraintes imposées au système que l’on étudie sont telles qu’il ne peut
accéder qu’à une surface S de l’espace de phase, le nombre de micro-états accessibles
au système sera égal à
S
dq dp
. Dans le cas de l’oscillateur harmonique à une dimension
(figure 7), S correspondrait à la surface comprise entre les deux ellipses associées à E et
E + dE. La généralisation à un système à f degrés de liberté (f = 3N si on a N particules)
se fait de la manière suivante : on subdivise l’espace de phase en cellules élémentaires
de côté dq, pour les coordonnées q i , et dp, pour les coordonnées p i . Chacune de ces
cellules, dont le volume est égal à (dq dp) f , est associée à un micro-état classique. Si le
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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2.6 MICRO-ÉTATS CLASSIQUES
2.6.1 Configurations et micro-états classiques
En physique statistique quantique, nous avons défini un micro-état comme une configuration microscopique particulière du système. Si nous pouvons appliquer la mécanique
classique, et si nous voulons développer une physique statistique classique, il faut retrouver, pour une énergie totale donnée, le même nombre de micro-états classiques que dans
l’approche quantique. Cette contrainte nous interdit d’identifier un micro-état classique à
une configuration particulière de l’espace de phase. En effet, pour un système d’énergie
donnée, la mécanique classique prévoit, sauf cas particuliers, une infinité de configurations puisque les variables de l’espace de phase peuvent varier de manière continue.
Exemple. Revenons à l’étude d’une particule libre de masse m dans une boîte cubique et négligeons le spin qui est une notion n’ayant pas d’équivalent classique. Nous savons que le nombre
de micro-états quantiques accessibles au système, lorsque son énergie est comprise entre E et
E + dE, est fini. En effet, les micro-états sont caractérisés par l’ensemble des nombres quantiques
n x , n y et n z qui sont des entiers positifs satisfaisant aux inégalités :
E
p
2
2
2mL 2 (n
2
x + n
2
y + n
2
z ) E + dE
(16)
Le nombre de micro-états quantiques peut être très grand mais reste fini. La mécanique classique prévoit au contraire qu’il existe un nombre infini de configurations associées au problème
précédent. Elles sont données par les valeurs de x, y, z, p x , p y et p z qui satisfont aux conditions
suivantes :
0 x L, 0 y L, 0 z L et E
p
2
x
2m
+
p
2
y
2m
+
p
2
z
2m
E + dE
(17)
(même pour un oscillateur harmonique à une dimension (figure 7) il y a une infinité de points
(configurations) compris entre les ellipses associées à E et E + dE).
Il faut donc, à ce stade, introduire une hypothèse supplémentaire pour définir un microétat qui soit l’équivalent classique du micro-état quantique. Nous allons expliquer cette
hypothèse sur un exemple constitué d’une particule évoluant dans un espace à une dimension. Nous appellerons q la coordonnée et p l’impulsion. L’espace de phase associé
est à 2 dimensions et nous le subdiviserons en petites cellules rectangulaires de taille dq
et dp (figure 8). Nous appellerons micro-état classique l’ensemble des configurations qui
sont dans une cellule. À un micro-état classique correspond donc une infinité de configurations. Si les contraintes imposées au système que l’on étudie sont telles qu’il ne peut
accéder qu’à une surface S de l’espace de phase, le nombre de micro-états accessibles
au système sera égal à
S
dq dp
. Dans le cas de l’oscillateur harmonique à une dimension
(figure 7), S correspondrait à la surface comprise entre les deux ellipses associées à E et
E + dE. La généralisation à un système à f degrés de liberté (f = 3N si on a N particules)
se fait de la manière suivante : on subdivise l’espace de phase en cellules élémentaires
de côté dq, pour les coordonnées q i , et dp, pour les coordonnées p i . Chacune de ces
cellules, dont le volume est égal à (dq dp) f , est associée à un micro-état classique. Si le
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.