2 • Le monde microscopique
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Nous allons procéder comme pour le cas quantique et considérer un système constitué
d’une particule de masse m. Au temps t il est possible de calculer la position r de la
particule et son impulsion p si l’on connaît :
1- les forces auxquelles elle est soumise en chaque point de l’espace,
2- sa position r 0 et son impulsion p 0 au temps t = 0 (conditions initiales). Notons que
nous avons choisi d’utiliser l’impulsion p plutôt que la vitesse v. Ces deux quantités
sont reliées par : p = mv. Dans le cas d’une force dérivant d’un potentiel U , l’équation
fondamentale de la dynamique qui régit l’évolution de la particule s’écrit :
dp
dt
= −
∂U
∂r
= −
∇U
(11)
où
∇ =
∂
∂r
représente l’opérateur gradient par rapport aux coordonnées. Sachant que p
est défini par l’équation :
dr
dt
=
p
m
(12)
les équations (11) et (12) permettent, après intégration et utilisation des conditions initiales pour déterminer les constantes d’intégration, de calculer r et p au temps t. Il est
important de noter que l’on détermine de manière univoque r et p au temps t si l’on
connaît r 0 , p 0 et les équations différentielles du mouvement.
Remarque. Notons que les équations (11) et (12) se rapportent aux vecteurs r et p. Si on
les écrit pour chacune des composantes x, y, z, p x , p y et p z , on a six équations se rapportant
à des scalaires. Par exemple, pour les composantes dirigées suivant l’axe x on a :
dp x
dt
= −
∂U
∂x
et
dx
dt
=
p x
m
(13)
À ce stade, il est commode d’introduire l’espace de phase de la particule. C’est un
espace cartésien à six dimensions dont les axes sont associés aux variables x, y, z, p x , p y
et p z . Nous donnons, dans la figure 6, une représentation schématique à 2 dimensions de
cet espace de phase. Une configuration du système correspond à la donnée explicite des
quantités r et p que l’on peut représenter dans l’espace de phase par un point ayant ces
Figure 2.6
coordonnées.
Ainsi, au temps t = 0, la particule est en r 0 , p 0 . Au
cours du temps, ce point évolue et décrit une courbe
appelée trajectoire dans l’espace de phase. Au temps
t ce point sera en r(t) et p(t) de la figure 6. Sa position est complètement déterminée par la donnée
des conditions initiales et par la connaissance des
équations du mouvement. Comme l’évolution de la
particule est univoque, deux trajectoires dans l’espace de phase ne peuvent pas se croiser. Si cela était
possible, en prenant ce point d’intersection comme
conditions initiales, on pourrait obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est interdit pour des raisons mathématiques.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Nous allons procéder comme pour le cas quantique et considérer un système constitué
d’une particule de masse m. Au temps t il est possible de calculer la position r de la
particule et son impulsion p si l’on connaît :
1- les forces auxquelles elle est soumise en chaque point de l’espace,
2- sa position r 0 et son impulsion p 0 au temps t = 0 (conditions initiales). Notons que
nous avons choisi d’utiliser l’impulsion p plutôt que la vitesse v. Ces deux quantités
sont reliées par : p = mv. Dans le cas d’une force dérivant d’un potentiel U , l’équation
fondamentale de la dynamique qui régit l’évolution de la particule s’écrit :
dp
dt
= −
∂U
∂r
= −
∇U
(11)
où
∇ =
∂
∂r
représente l’opérateur gradient par rapport aux coordonnées. Sachant que p
est défini par l’équation :
dr
dt
=
p
m
(12)
les équations (11) et (12) permettent, après intégration et utilisation des conditions initiales pour déterminer les constantes d’intégration, de calculer r et p au temps t. Il est
important de noter que l’on détermine de manière univoque r et p au temps t si l’on
connaît r 0 , p 0 et les équations différentielles du mouvement.
Remarque. Notons que les équations (11) et (12) se rapportent aux vecteurs r et p. Si on
les écrit pour chacune des composantes x, y, z, p x , p y et p z , on a six équations se rapportant
à des scalaires. Par exemple, pour les composantes dirigées suivant l’axe x on a :
dp x
dt
= −
∂U
∂x
et
dx
dt
=
p x
m
(13)
À ce stade, il est commode d’introduire l’espace de phase de la particule. C’est un
espace cartésien à six dimensions dont les axes sont associés aux variables x, y, z, p x , p y
et p z . Nous donnons, dans la figure 6, une représentation schématique à 2 dimensions de
cet espace de phase. Une configuration du système correspond à la donnée explicite des
quantités r et p que l’on peut représenter dans l’espace de phase par un point ayant ces
Figure 2.6
coordonnées.
Ainsi, au temps t = 0, la particule est en r 0 , p 0 . Au
cours du temps, ce point évolue et décrit une courbe
appelée trajectoire dans l’espace de phase. Au temps
t ce point sera en r(t) et p(t) de la figure 6. Sa position est complètement déterminée par la donnée
des conditions initiales et par la connaissance des
équations du mouvement. Comme l’évolution de la
particule est univoque, deux trajectoires dans l’espace de phase ne peuvent pas se croiser. Si cela était
possible, en prenant ce point d’intersection comme
conditions initiales, on pourrait obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est interdit pour des raisons mathématiques.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.