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Physique statistique
En physique statistique, l’énergie totale d’un système joue un rôle privilégié car c’est
une quantité conservée si celui-ci est isolé. Il faut donc pouvoir calculer le nombre de
micro-états associés à un système dont l’énergie E est constante et dont d’autres paramètres macroscopiques sont fixés. Nous désignerons par V(E) le nombre de micro-états
accessibles au système lorsque son énergie totale est égale à E. Dans la section 2.3 nous
avons déjà évalué V(E) sur des exemples académiques, mais simples. Les valeurs de
V(E) trouvées étaient petites, ce qui n’est pas le cas pour un système macroscopique
qui contient N ≈ N particules et dont la température est loin du zéro absolu. En effet, un système à N particules a f = 3N degrés de liberté. Par exemple, si c’est un gaz
parfait, composé d’atomes de spin nul enfermés dans une boîte cubique, nous avons
vu qu’il fallait f nombres quantiques pour caractériser un micro-état. On peut montrer
que le nombre de micro-états d’un système normal (nous préciserons ce point dans le
chapitre 5) dont l’énergie est égale à E varie très approximativement comme :
V(E) ∼ E
f
(10)
Pour un système à notre échelle, où N peut être de l’ordre de 10 23 particules, ce nombre
est extraordinairement grand. De manière générale, les nombres que l’on a à considérer
en physique statistique sont extrêmement grands. Ils sont de plusieurs ordres de grandeur
supérieurs à ceux que l’on utilise en astronomie ou en astrophysique et qui sont déjà très
grands.
Une des tâches principales de la physique statistique consiste à évaluer V(E). Bien sûr,
on ne procède pas comme dans les exemples de la section 2.3 car les situations réelles
sont plus complexes et ne le permettraient pas.
Remarque. Les particules de la nature sont soit des bosons, soit des fermions. Il faut tenir compte de la statistique à laquelle elles obéissent pour construire les micro-états d’un
système à N particules. Cette distinction n’est importante que lorsque le système a un
comportement quantique, par exemple lorsque la température est proche du zéro absolu.
Pour un gaz parfait à la température ordinaire, dont les constituants peuvent être décrits
par la mécanique classique, une telle distinction n’est pas nécessaire et on peut supposer
qu’il est composé de particules indiscernables obéissant à une nouvelle statistique appelée
statistique de Maxwell-Boltzmann. Celle-ci représente la limite classique des statistiques
de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein. Elle s’applique lorsque le taux d’occupation des niveaux de particules individuelles est très faible comparé à l’unité, i.e. lorsque l’on est loin
du zéro absolu. Nous préciserons ces points en détail dans le chapitre 9.
2.5 L’ESPACE DE PHASE
On se trouve souvent confronté à des problèmes physiques qui peuvent être décrits avec
une excellente approximation par la mécanique classique. Aussi n’est il pas nécessaire
d’invoquer, pour ces cas là, la mécanique quantique. Pour pouvoir développer une théorie
statistique à partir de la mécanique classique, il faut introduire aussi la notion de microétat et s’assurer que l’on trouve le même résultat qu’en mécanique quantique lorsque
l’on calcule V(E). C’est ce à quoi nous allons nous attacher à présent et, pour ce faire,
nous devons introduire la notion d’espace de phase.
Physique statistique
En physique statistique, l’énergie totale d’un système joue un rôle privilégié car c’est
une quantité conservée si celui-ci est isolé. Il faut donc pouvoir calculer le nombre de
micro-états associés à un système dont l’énergie E est constante et dont d’autres paramètres macroscopiques sont fixés. Nous désignerons par V(E) le nombre de micro-états
accessibles au système lorsque son énergie totale est égale à E. Dans la section 2.3 nous
avons déjà évalué V(E) sur des exemples académiques, mais simples. Les valeurs de
V(E) trouvées étaient petites, ce qui n’est pas le cas pour un système macroscopique
qui contient N ≈ N particules et dont la température est loin du zéro absolu. En effet, un système à N particules a f = 3N degrés de liberté. Par exemple, si c’est un gaz
parfait, composé d’atomes de spin nul enfermés dans une boîte cubique, nous avons
vu qu’il fallait f nombres quantiques pour caractériser un micro-état. On peut montrer
que le nombre de micro-états d’un système normal (nous préciserons ce point dans le
chapitre 5) dont l’énergie est égale à E varie très approximativement comme :
V(E) ∼ E
f
(10)
Pour un système à notre échelle, où N peut être de l’ordre de 10 23 particules, ce nombre
est extraordinairement grand. De manière générale, les nombres que l’on a à considérer
en physique statistique sont extrêmement grands. Ils sont de plusieurs ordres de grandeur
supérieurs à ceux que l’on utilise en astronomie ou en astrophysique et qui sont déjà très
grands.
Une des tâches principales de la physique statistique consiste à évaluer V(E). Bien sûr,
on ne procède pas comme dans les exemples de la section 2.3 car les situations réelles
sont plus complexes et ne le permettraient pas.
Remarque. Les particules de la nature sont soit des bosons, soit des fermions. Il faut tenir compte de la statistique à laquelle elles obéissent pour construire les micro-états d’un
système à N particules. Cette distinction n’est importante que lorsque le système a un
comportement quantique, par exemple lorsque la température est proche du zéro absolu.
Pour un gaz parfait à la température ordinaire, dont les constituants peuvent être décrits
par la mécanique classique, une telle distinction n’est pas nécessaire et on peut supposer
qu’il est composé de particules indiscernables obéissant à une nouvelle statistique appelée
statistique de Maxwell-Boltzmann. Celle-ci représente la limite classique des statistiques
de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein. Elle s’applique lorsque le taux d’occupation des niveaux de particules individuelles est très faible comparé à l’unité, i.e. lorsque l’on est loin
du zéro absolu. Nous préciserons ces points en détail dans le chapitre 9.
2.5 L’ESPACE DE PHASE
On se trouve souvent confronté à des problèmes physiques qui peuvent être décrits avec
une excellente approximation par la mécanique classique. Aussi n’est il pas nécessaire
d’invoquer, pour ces cas là, la mécanique quantique. Pour pouvoir développer une théorie
statistique à partir de la mécanique classique, il faut introduire aussi la notion de microétat et s’assurer que l’on trouve le même résultat qu’en mécanique quantique lorsque
l’on calcule V(E). C’est ce à quoi nous allons nous attacher à présent et, pour ce faire,
nous devons introduire la notion d’espace de phase.