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Physique statistique
Exercice 4. En partant de (51), on obtient :
2 (t)> = v
2 (0)e −2at + 2e −2at v(0)
t
0
e at dt
+ e −2at
t
0
t
0
e a(t + t
) )> dt dt
Le deuxième terme est nul en raison de l’hypothèse d’isotropie du fluide et nous avons évalué le
troisième terme (cf. 54). On obtient finalement :
2 (t)>= v
2 (0)e −2at +
kT
M
− v
2 (0)
1 − e −2at
On peut remarquer que, si on part de l’équilibre v
2 (0) = kT/M (théorème d’équipartition), on
reste à l’équilibre et il n’ a aucune tendance à s’en éloigner.
Exercice 5. 1- La particule qui est en x − Dx au temps t a une probabilité p d’aller en x. Si
elle est en x + Dx au temps t, elle a la probabilité q d’aller en x. L’équation cherchée est donc :
P(x, t + Dt) = qP(x + Dx, t) + pP(x − Dx, t)
2- Développons chaque terme de l’équation ci-dessus à l’ordre indiqué dans l’énoncé (P ∼ P(x, t)) :
P(x, t + Dt) = P + Dt
∂P
∂t
P(x ± Dx, t) = P ± Dx
∂P
∂x
+
(Dx)
2
2
∂
2 P
∂x 2
D’où :
P + Dt
∂P
∂t
= (p + q)P − (p − q)Dx
∂P
∂x
+ (p + q)
(Dx)
2
2
∂
2 P
∂x 2
Soit, en tenant compte que p + q = 1 :
∂P
∂t
= −D
(1) ∂P
∂x
+ D
(2) ∂
2 P
∂x 2
avec D
(1) = (p − q)
Dx
Dt et D
(2) =
(Dx)
2
2Dt