Corrigé des exercices
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Chapitre 13
Exercice 1. 1- Le flux de particules est
1
4 n . Par conséquent, on a :
P yz =
1
4
n
mu y (−l) − mu y (l)
2- En faisant un développement de taylor autour de z = 0, on trouve :
P yz = −
1
2
nm l
∂u y
∂z
d’où h =
1
2
nm l
3- Les unités sont : Newtons/m
2 pour P zy et Newtons×secondes/m
2 pour h.
4Q z =
1
4
n [´(−l) − ´(+l)]
Q z = −
1
2
n l
∂´
∂T
∂T
∂z
= −K
∂T
∂z
d’où K =
1
2
n l
∂´
∂T
Le rapport K/h est indépendant de n :
K
h
=
1
m
∂´
∂T
=
1
M
C v d’où
KM
hC v
= 1
On trouve que cette dernière relation est vérifiée par les gaz réels à un facteur 2 à 3 près.
Exercice 2. 1- L’équation (47) donne : M
dv
dt = eE − gv + F(t)
2- En régime stationnaire,
dv
dt = 0. Si l’on prend la moyenne de tous les termes de l’équation de
Langevin, on trouve : eE = g << v >>.
3- m =<< v >> /E = e/g.
4m
D
=
e
kT
qui est la relation d’Einstein originale mais qui est aussi parfois appelée relation de
Nernst.
Exercice 3. Si nous négligeons le terme transitoire v(0) exp(−gt/M) qui ne joue un rôle qu’au
début du problème, on a v(t) =
t
0
e −g(t − t)/M F(t) dt :
)> =
t
0
t
0
e g(t − t)/M e g(t
− t
)/M )> dt dt
= C
t
0
t
0
e g(t − t)/M e g(t
− t
)/M d(t − t
) dt dt
=
CM
2g
e −g(t − t
)/M − e −g(t + t
)/M
Si t et t
sont grands mais t − t
petit, i.e. si l’on atteint un régime stationnaire, on a :
)>=
CM
2g
e −a(t − t
)
On voit que la mémoire est perdue au bout d’un temps de l’ordre de M/g. Cela signifie que v(t
)
diffère de manière appréciable de v(t) au bout d’un temps de l’ordre de M/g.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.