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Physique statistique
3- On obtient pour chaque terme de l’équation de Boltzmann :
∂f
∂t
dv =
∂
∂t
f dv =
∂n
∂t
v·
∂
∂r
f dv =
∂
∂r
f v dv =
∂
∂r
(n )
F
m
∂
∂v
f dv =
F
m
·
∂
∂v
f dv = 0
car f → 0 lorsque v a → ±∞. D’où :
∂n
∂t
+
∂
∂r
(n ) = 0
C’est une équation de continuité qui exprime la conservation locale du nombre de particules.
4n =
vf dv =
v
f 0 − tv·
∂f 0
∂r
− t
F
m
·
∂f 0
∂v
dv
On a
vf 0 dv = 0. En effet, il s’agit d’intégrales pour les composantes de v qui sont de la forme
+∞
−∞
v a f 0 dv. Or f 0 , la distribution d’équilibre est paire (cf. distribution de Maxwell).
La composante x du deuxième terme vaut :
−
tv
v·
∂
∂r
f 0 dv
x
= −
v
2
x t
∂f 0
∂x
dv + v x v y t
∂f 0
∂x
dv+v x v z t
∂f 0
∂x
dv
Les deux dernières intégrales du membre de droite sont nulles car la fonction à intégrer est
impaire. Il reste donc :
−
v
2
x t
∂f 0
∂x
dv =
v
2
x t
∂f 0
∂n
∂n
∂x
dv = −D x
∂n
∂x
On obtient des résultats similaires pour les composantes y et z.
Regardons enfin la composante x du troisième terme :
−
v x tF·
∂f 0
∂v
dv = −
v x tF x ·
∂f 0
∂v x
dv−
v x tF y ·
∂f 0
∂v y
dv−
v x tF z ·
∂f 0
∂v z
dv
Les deux dernières intégrales sont nulles par raison de symétrie (fonction à intégrer impaire). Par
conséquent :
−
v x tF·
∂f 0
∂v
dv = −
v x tF x ·
∂f 0
∂v x
dv = nG x F x
En récapitulant les différentes composantes, on obtient :
∂n
∂t
= −
∂
∂x
−D
∂n
∂x
+ nGF x
−
∂
∂y
−D
∂n
∂y
+ nGF y
−
∂
∂z
−D
∂n
∂z
+ nGF z
Soit, de manière plus compacte :
∂n
∂t
= − div
nGF − D
∂n
∂r
5- Pour un gaz d’électrons F = eE. L’équation de diffusion s’écrit alors :
∂n
∂t
= − div
mnF − D
∂n
∂r