Corrigé des exercices
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Exercice 6. On pourrait directement calculer le jacobien de la transformation comme nous
l’avons fait dans la section 12.6. Néanmoins, on peut remarquer en examinant (60) que les composantes selon les axes x, y et z sont indépendantes. Calculons, par exemple, comment se transforme dv 1x dv 2x :
dv 1x dv 2x = |J|dv rel(x) dVx
avec :
J =
1
m2
m1+m2
1 −
m1
m1+m2
= −
m 1
m 1 + m 2
−
m 2
m 1 + m 2
= −1
On a la même chose pour les composantes y et z, d’où l’égalité cherchée. La même démarche
s’applique pour montrer que dv
1 dv
2 = dv
rel dV
.
Il reste à montrer que dv rel dV = dv
rel dV
. Pour cela, on sait que V = V
, donc dV = dV
.
De plus v rel = v
rel . Ceci signifie que v rel et v
rel se déduisent l’un de l’autre par rotation. Cette
transformation étant un déplacement, il conserve les longueurs et les angles et donc les éléments
de volume. Par conséquent, dv rel = dv
rel .
Exercice 7. 1- À l’équilibre f = f 0 et le terme de collisions est nul. Il ne perturbe donc pas
l’équilibre.
2- Il n’y a pas de champ extérieur =⇒ F = 0. Le système est homogène dans l’espace
=⇒ f (r, v, t) = f (v, t). Par conséquent :
Df = −
f − f 0
t
se réduit à
∂f
∂t
= −
f − f 0
t
puisque les autres termes sont nuls. La solution de cette équation est :
f (t) = f 0 + (f (t = 0) − f 0 )) e −t/t
où f (t = 0) est la distribution hors d’équilibre au temps t = 0 à ne pas confondre avec la distribution d’équilibre f 0 .
Exercice 8. 1- On tire de l’équation de Boltzmann :
f = f 0 − t
∂f
∂t
− tv·
∂f
∂r
− t
F
m
·
∂f
∂v
Remplaçons, dans les termes du second membre, f par son expression donnée ci-dessus (processus récursif). On obtient, en se limitant au premier ordre :
f = f 0 − t
∂f 0
∂t
− tv·
∂f 0
∂r
− t
F
m
·
∂f 0
∂v
On remarque que cela revient à prendre f = f 0 dans le second membre. Toutefois, la méthode
décrite permet d’aller à des ordres supérieurs. Comme f 0 est la distribution d’équilibre,
∂f0
∂t = 0.
Par conséquent :
f = f 0 − tv·
∂f 0
∂r
− t
F
m
·
∂f 0
∂v
2- Au cours de la relaxation du système, la concentration de particules dans l’espace n’est pas en
général celle de l’équilibre. Le temps nécessaire pour atteindre cet équilibre global est beaucoup
plus long que celui nécessaire pour atteindre un équilibre local. Le modèle peut être amélioré en
ne considérant qu’un petit élément de volume et en supposant que dans celui-ci il y a équilibre
local.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercice 6. On pourrait directement calculer le jacobien de la transformation comme nous
l’avons fait dans la section 12.6. Néanmoins, on peut remarquer en examinant (60) que les composantes selon les axes x, y et z sont indépendantes. Calculons, par exemple, comment se transforme dv 1x dv 2x :
dv 1x dv 2x = |J|dv rel(x) dVx
avec :
J =
1
m2
m1+m2
1 −
m1
m1+m2
= −
m 1
m 1 + m 2
−
m 2
m 1 + m 2
= −1
On a la même chose pour les composantes y et z, d’où l’égalité cherchée. La même démarche
s’applique pour montrer que dv
1 dv
2 = dv
rel dV
.
Il reste à montrer que dv rel dV = dv
rel dV
. Pour cela, on sait que V = V
, donc dV = dV
.
De plus v rel = v
rel . Ceci signifie que v rel et v
rel se déduisent l’un de l’autre par rotation. Cette
transformation étant un déplacement, il conserve les longueurs et les angles et donc les éléments
de volume. Par conséquent, dv rel = dv
rel .
Exercice 7. 1- À l’équilibre f = f 0 et le terme de collisions est nul. Il ne perturbe donc pas
l’équilibre.
2- Il n’y a pas de champ extérieur =⇒ F = 0. Le système est homogène dans l’espace
=⇒ f (r, v, t) = f (v, t). Par conséquent :
Df = −
f − f 0
t
se réduit à
∂f
∂t
= −
f − f 0
t
puisque les autres termes sont nuls. La solution de cette équation est :
f (t) = f 0 + (f (t = 0) − f 0 )) e −t/t
où f (t = 0) est la distribution hors d’équilibre au temps t = 0 à ne pas confondre avec la distribution d’équilibre f 0 .
Exercice 8. 1- On tire de l’équation de Boltzmann :
f = f 0 − t
∂f
∂t
− tv·
∂f
∂r
− t
F
m
·
∂f
∂v
Remplaçons, dans les termes du second membre, f par son expression donnée ci-dessus (processus récursif). On obtient, en se limitant au premier ordre :
f = f 0 − t
∂f 0
∂t
− tv·
∂f 0
∂r
− t
F
m
·
∂f 0
∂v
On remarque que cela revient à prendre f = f 0 dans le second membre. Toutefois, la méthode
décrite permet d’aller à des ordres supérieurs. Comme f 0 est la distribution d’équilibre,
∂f0
∂t = 0.
Par conséquent :
f = f 0 − tv·
∂f 0
∂r
− t
F
m
·
∂f 0
∂v
2- Au cours de la relaxation du système, la concentration de particules dans l’espace n’est pas en
général celle de l’équilibre. Le temps nécessaire pour atteindre cet équilibre global est beaucoup
plus long que celui nécessaire pour atteindre un équilibre local. Le modèle peut être amélioré en
ne considérant qu’un petit élément de volume et en supposant que dans celui-ci il y a équilibre
local.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.