Corrigé des exercices
309
En général, la dégénérescence est donnée par (n + 1)(n + 2)/2.
3- À deux dimensions ´ nxny = (n x + n y + 1) v = (n + 1) v et g = n + 1.
Exercice 3. Voir figure
(1, 1, 1)
(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)
(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)
(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)
(2, 2, 2)
Permutations de (1, 2, 3)
(3, 2, 2), (2, 3, 2), (2, 2, 3)
(1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1)
(1, 3, 3), (3, 1, 3), (3, 3, 1)
Permutations de (1, 2, 4)
21´ 0
19´ 0
18´ 0
17´ 0
14´ 0
12´ 0
11´ 0
9´ 0
6´ 0
3´ 0
Exercice 4. 1- La colonne de droite de la figure de l’exercice 3 nous montre qu’il existe 3
configurations possibles : i) 3 particules dans l’état 6´ 0 . ii) 1 particule en 3´ 0 , 1 en 6´ 0 et 1 en
9´ 0 . iii) 2 particules en 3´ 0 , 1 en 12´ 0 .
2- a) i) L’état 6´ 0 est dégénéré 3 fois. Chaque particule a donc accès à chacun des états. Puisque
l’ordre de rangement des particules est important, on a 3
3 = 27 configurations possibles.
ii) L’état 3´ 0 n’est pas dégénéré, mais les états 6´ 0 et 9´ 0 , le sont, eux, 3 fois. Il y a donc 9
façons différentes de placer les 3 particules. De plus, comme les particules sont discernables, il
y a pour chaque configuration, 6 manières de les ranger. Soit 9 × 6 = 54 micro-états.
iii) Aucun des deux niveaux n’est dégénéré, mais l’ordre de rangement des particules a de
l’importance. Il y a 3 possibilités de rangement pour une particule sur le niveau 12´ 0 . Les deux
autres sont assujetties à se placer sur le même niveau. Il y a donc 3 micro-états.
b) Les particules sont indiscernables et l’ordre de rangement n’a plus d’importance.
i) Sur les 27 micro-états décomptés en a) i), il faut éliminer ceux qui se déduisent les uns
des autres par une permutation des particules. On peut avoir : a) 3 micro-états pour lesquels les
3 particules sont dans le même état quantique. b) 3 × 2 = 6 micro-états pour lesquels 2 des
particules sont dans le même état quantique. g) 1 micro-état pour lequel chaque particule est
dans un état quantique différent. Il y a donc au total 10 micro-états.
ii) 9 micro-états. iii) 1 micro-état.
Si la particule est un boson de spin 1, elle a 3 états de spin possibles.
i) Le raisonnement appliqué pour les bosons de spin zéro conduit, en tenant compte des résultats
donnés pour le boson de spin 0 en a), b) et g) à : 3× 10 + 6 × 3 × 6 + 1 × 27 = 165 micro-états. ii)
Comme les 3 particules sont sur des niveaux d’énergie différents, on a : 9 × 3
3 = 243 micro-états.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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En général, la dégénérescence est donnée par (n + 1)(n + 2)/2.
3- À deux dimensions ´ nxny = (n x + n y + 1) v = (n + 1) v et g = n + 1.
Exercice 3. Voir figure
(1, 1, 1)
(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)
(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)
(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)
(2, 2, 2)
Permutations de (1, 2, 3)
(3, 2, 2), (2, 3, 2), (2, 2, 3)
(1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1)
(1, 3, 3), (3, 1, 3), (3, 3, 1)
Permutations de (1, 2, 4)
21´ 0
19´ 0
18´ 0
17´ 0
14´ 0
12´ 0
11´ 0
9´ 0
6´ 0
3´ 0
Exercice 4. 1- La colonne de droite de la figure de l’exercice 3 nous montre qu’il existe 3
configurations possibles : i) 3 particules dans l’état 6´ 0 . ii) 1 particule en 3´ 0 , 1 en 6´ 0 et 1 en
9´ 0 . iii) 2 particules en 3´ 0 , 1 en 12´ 0 .
2- a) i) L’état 6´ 0 est dégénéré 3 fois. Chaque particule a donc accès à chacun des états. Puisque
l’ordre de rangement des particules est important, on a 3
3 = 27 configurations possibles.
ii) L’état 3´ 0 n’est pas dégénéré, mais les états 6´ 0 et 9´ 0 , le sont, eux, 3 fois. Il y a donc 9
façons différentes de placer les 3 particules. De plus, comme les particules sont discernables, il
y a pour chaque configuration, 6 manières de les ranger. Soit 9 × 6 = 54 micro-états.
iii) Aucun des deux niveaux n’est dégénéré, mais l’ordre de rangement des particules a de
l’importance. Il y a 3 possibilités de rangement pour une particule sur le niveau 12´ 0 . Les deux
autres sont assujetties à se placer sur le même niveau. Il y a donc 3 micro-états.
b) Les particules sont indiscernables et l’ordre de rangement n’a plus d’importance.
i) Sur les 27 micro-états décomptés en a) i), il faut éliminer ceux qui se déduisent les uns
des autres par une permutation des particules. On peut avoir : a) 3 micro-états pour lesquels les
3 particules sont dans le même état quantique. b) 3 × 2 = 6 micro-états pour lesquels 2 des
particules sont dans le même état quantique. g) 1 micro-état pour lequel chaque particule est
dans un état quantique différent. Il y a donc au total 10 micro-états.
ii) 9 micro-états. iii) 1 micro-état.
Si la particule est un boson de spin 1, elle a 3 états de spin possibles.
i) Le raisonnement appliqué pour les bosons de spin zéro conduit, en tenant compte des résultats
donnés pour le boson de spin 0 en a), b) et g) à : 3× 10 + 6 × 3 × 6 + 1 × 27 = 165 micro-états. ii)
Comme les 3 particules sont sur des niveaux d’énergie différents, on a : 9 × 3
3 = 243 micro-états.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.