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Physique statistique
iii) Pour la particule en 12´ 0 , il a 3 états de spin possibles. Pour les 2 particules en 3´ 0 , il y a 6
micro-états puisque l’on doit retirer les configurations identiques ou déduites l’une de l’autre par
permutation. Soit 6 × 3 = 18 micro-états.
c) i) Comme 2 fermions ne peuvent pas se trouver dans le même état quantique, nous devons
éliminer les 3 micro-états pour lesquels les 3 particules ont le même ensemble (n x , n y , n z ). Pour
les autres cas :
– Si 2 particules ont le même ensemble (n x , n y , n z ), elles sont nécessairement appariées. Par
configuration, on n’a donc que 2 micro-états, soit au total 6 × 2 = 12 micro-états.
– Pour la configuration restante (les 3 ensembles (n x , n y , n z ) sont différents) chaque particule a 2
états de spin, soit 8 micro-états. Au total on trouve 12+8=20 micro-états.
ii) 9 × 2
3 = 72 micro-états.
iii) Les 2 particules de l’état 3´ 0 doivent être appariées puisque cet état n’est pas dégénéré.
Pour la particule en 12´ 0 , il y a 2 états de spin. Il y a donc 2 micro-états.
2- a) 27 + 54 + 3 = 84 micro-états.
b) spin 0 : 10 + 9 + 1 = 20 micro-états.
spin 1 : 165 + 243 + 18 = 426 micro-états.
c) 20 + 72 + 2 = 94 micro-états.
Exercice 5. 1- Le spectre des énergies à une particule est représenté par la colonne de gauche
de la figure de l’exercice 3. Puisque les niveaux ne sont pas dégénérés, il suffit de 3 nombres
quantiques pour chaque particule, donc de 9 au total (n 1 , s 1 , s 1,z , n 2 , s 2 , s 2,z , n 3 , s 3 , s 3,z ).
2- Il y a 2 manières d’obtenir E = 27´ 0 avec 3 particules. En mettant i) les 3 en 9´ 0 , ou ii) 2 en
´ 0 et une en 25´ 0 .
a) i) 1 micro-état. ii) 3 micro-états par permutation des particules.
b) i) 10 micro-états. ii) 6 × 3 micro-états. Pour les bosons de spin zéro on trouverait : i) 1
micro-état. ii) 1 micro-états.
c) i) interdit ii) 2 micro-états puisqu’en ´ 0 les fermions sont appariés mais, qu’en 25´ 0 , la
particule peut se trouver dans deux états de spin distincts.
Au total on trouve a) 1+3=4 micro-états. b) 1+1=2 micro-états (spin 0). 10+18 = 28 micro-états
(spin 1). c) 2 micro-états.
Exercice 6. Pour la première boîte on a N possibilités, pour la seconde N − 1,. . . Au total
N! = N × (N − 1) . . . 3 × 2 × 1 possibilités. C’est le nombre de permutations différentes.
Exercice 7. Il y a N! façons différentes de disposer N objets. Dans une boîte particulière i,
il y a N i ! permutations différentes mais cela ne correspond qu’à une seule configuration puisque
nous ne distinguons pas l’ordre à l’intérieur de celle-ci. Le résultat est donc :
N!
N1!N2!...Nr! .
Exercice 8. Pour le premier tirage on a N choix, pour le second N − 1, . . . Donc au total
A
m
N = N(N−1) . . . (N−m+1). C’est un arrangement de N objets m à m. Si l’ordre n’a pas d’importance, il faut diviser le résultat précédent par m! car il y a m! permutations possibles des m objets
tirés. C’est le nombre de combinaisons de N objets m à m : C
m
N =
N(N−1)...(N−m+1)
m!
=
N!
(N−m)!m! .
Physique statistique
iii) Pour la particule en 12´ 0 , il a 3 états de spin possibles. Pour les 2 particules en 3´ 0 , il y a 6
micro-états puisque l’on doit retirer les configurations identiques ou déduites l’une de l’autre par
permutation. Soit 6 × 3 = 18 micro-états.
c) i) Comme 2 fermions ne peuvent pas se trouver dans le même état quantique, nous devons
éliminer les 3 micro-états pour lesquels les 3 particules ont le même ensemble (n x , n y , n z ). Pour
les autres cas :
– Si 2 particules ont le même ensemble (n x , n y , n z ), elles sont nécessairement appariées. Par
configuration, on n’a donc que 2 micro-états, soit au total 6 × 2 = 12 micro-états.
– Pour la configuration restante (les 3 ensembles (n x , n y , n z ) sont différents) chaque particule a 2
états de spin, soit 8 micro-états. Au total on trouve 12+8=20 micro-états.
ii) 9 × 2
3 = 72 micro-états.
iii) Les 2 particules de l’état 3´ 0 doivent être appariées puisque cet état n’est pas dégénéré.
Pour la particule en 12´ 0 , il y a 2 états de spin. Il y a donc 2 micro-états.
2- a) 27 + 54 + 3 = 84 micro-états.
b) spin 0 : 10 + 9 + 1 = 20 micro-états.
spin 1 : 165 + 243 + 18 = 426 micro-états.
c) 20 + 72 + 2 = 94 micro-états.
Exercice 5. 1- Le spectre des énergies à une particule est représenté par la colonne de gauche
de la figure de l’exercice 3. Puisque les niveaux ne sont pas dégénérés, il suffit de 3 nombres
quantiques pour chaque particule, donc de 9 au total (n 1 , s 1 , s 1,z , n 2 , s 2 , s 2,z , n 3 , s 3 , s 3,z ).
2- Il y a 2 manières d’obtenir E = 27´ 0 avec 3 particules. En mettant i) les 3 en 9´ 0 , ou ii) 2 en
´ 0 et une en 25´ 0 .
a) i) 1 micro-état. ii) 3 micro-états par permutation des particules.
b) i) 10 micro-états. ii) 6 × 3 micro-états. Pour les bosons de spin zéro on trouverait : i) 1
micro-état. ii) 1 micro-états.
c) i) interdit ii) 2 micro-états puisqu’en ´ 0 les fermions sont appariés mais, qu’en 25´ 0 , la
particule peut se trouver dans deux états de spin distincts.
Au total on trouve a) 1+3=4 micro-états. b) 1+1=2 micro-états (spin 0). 10+18 = 28 micro-états
(spin 1). c) 2 micro-états.
Exercice 6. Pour la première boîte on a N possibilités, pour la seconde N − 1,. . . Au total
N! = N × (N − 1) . . . 3 × 2 × 1 possibilités. C’est le nombre de permutations différentes.
Exercice 7. Il y a N! façons différentes de disposer N objets. Dans une boîte particulière i,
il y a N i ! permutations différentes mais cela ne correspond qu’à une seule configuration puisque
nous ne distinguons pas l’ordre à l’intérieur de celle-ci. Le résultat est donc :
N!
N1!N2!...Nr! .
Exercice 8. Pour le premier tirage on a N choix, pour le second N − 1, . . . Donc au total
A
m
N = N(N−1) . . . (N−m+1). C’est un arrangement de N objets m à m. Si l’ordre n’a pas d’importance, il faut diviser le résultat précédent par m! car il y a m! permutations possibles des m objets
tirés. C’est le nombre de combinaisons de N objets m à m : C
m
N =
N(N−1)...(N−m+1)
m!
=
N!
(N−m)!m! .