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Physique statistique
1- Écrire l’équation de Langevin associée à ce phénomène.
2- Quelle condition obtient-on pour la valeur moyenne de la vitesse en régime stationnaire ?
3- La mobilité de la particule est définie par << v >>= mE. Exprimer celle-ci en fonction de
e, et de g.
4- La relation qui lie m à la constante de diffusion D = kT/g s’appelle la relation d’Einstein.
Donner son expression.
3. Fonction de corrélation des vitesses
Pour un mouvement brownien unidimensionnel, la fonction de corrélation temporelle des vitesses < v(t)v(t
) > permet d’évaluer le temps nécessaire pour perdre la mémoire d’une valeur
particulière de la vitesse. Évaluer cette quantité en supposant que la fonction de corrélation associée à la force aléatoire est proportionnelle à une distribution de Dirac (équation 49). Discuter
le résultat en supposant : 1- que t et t
sont grands et que t − t
est petit, 2- en négligeant le terme
transitoire obtenu.
4. Calcul de
Calculer
asymptotique.
5. Mouvement brownien et équation de Fokker Planck
Nous allons considérer le mouvement brownien décrit dans la section 3.6.1. Nous supposerons
que les sauts sont d’une longueur Dx et qu’ils se font à chaque intervalle de temps Dt. Soit
respectivement p et q la probabilité d’aller à droite et à gauche à chaque saut. Soit P(x, t) la
probabilité pour que la particule soit en x au temps t.
1- Écrire l’équation donnant reliant P(x, t + Dt) à P(x − Dx, t) et P(x + Dx, t).
Nous supposerons maintenant que Dx et Dt sont suffisamment petits par rapport aux dimensions
caractéristiques du problème pour pouvoir être considérées comme des variables continues. Développer l’équation obtenue au premier ordre en Dt et au second ordre en Dx. Montrer que l’on
obtient une équation de Fokker Planck dont on donnera la vitesse de dérive et le coefficient de
diffusion.
Physique statistique
1- Écrire l’équation de Langevin associée à ce phénomène.
2- Quelle condition obtient-on pour la valeur moyenne de la vitesse en régime stationnaire ?
3- La mobilité de la particule est définie par << v >>= mE. Exprimer celle-ci en fonction de
e, et de g.
4- La relation qui lie m à la constante de diffusion D = kT/g s’appelle la relation d’Einstein.
Donner son expression.
3. Fonction de corrélation des vitesses
Pour un mouvement brownien unidimensionnel, la fonction de corrélation temporelle des vitesses < v(t)v(t
) > permet d’évaluer le temps nécessaire pour perdre la mémoire d’une valeur
particulière de la vitesse. Évaluer cette quantité en supposant que la fonction de corrélation associée à la force aléatoire est proportionnelle à une distribution de Dirac (équation 49). Discuter
le résultat en supposant : 1- que t et t
sont grands et que t − t
est petit, 2- en négligeant le terme
transitoire obtenu.
4. Calcul de
Calculer
asymptotique.
5. Mouvement brownien et équation de Fokker Planck
Nous allons considérer le mouvement brownien décrit dans la section 3.6.1. Nous supposerons
que les sauts sont d’une longueur Dx et qu’ils se font à chaque intervalle de temps Dt. Soit
respectivement p et q la probabilité d’aller à droite et à gauche à chaque saut. Soit P(x, t) la
probabilité pour que la particule soit en x au temps t.
1- Écrire l’équation donnant reliant P(x, t + Dt) à P(x − Dx, t) et P(x + Dx, t).
Nous supposerons maintenant que Dx et Dt sont suffisamment petits par rapport aux dimensions
caractéristiques du problème pour pouvoir être considérées comme des variables continues. Développer l’équation obtenue au premier ordre en Dt et au second ordre en Dx. Montrer que l’on
obtient une équation de Fokker Planck dont on donnera la vitesse de dérive et le coefficient de
diffusion.