13 • Phénomènes de transport
303
Dans cette équation, la seule trace qui reste du milieu se résume dans la température T,
la constante de friction g et la constante de diffusion D qui sont reliées entre-elles par la
relation d’Einstein généralisée (111).
Signalons enfin que l’on peut, par intégration sur P ou Q, obtenir, à partir de (110),
une équation de Fokker Planck dans l’espace des coordonnées ou des impulsions.
EXERCICES
1. Viscosité et conductivité thermique
On peut décrire, de manière élémentaire, les propriétés de transport d’un fluide en supposant que
les propriétés cinétiques des molécules en un point donné sont influencées par celles des molécules qui sont dans le voisinage immédiat. Dans l’hypothèse du chaos moléculaire, sur laquelle
était basé l’équation de Boltzmann, ce voisinage contient les molécules qui ont subi une dernière
collision avec les molécules du reste du système. Ceci correspond donc à une distance de l’ordre
du libre parcours moyen l des molécules dans le fluide considéré. Pour expliciter cela sur un
exemple simple, nous allons considérer un système d’axes cartésiens Oxyz et nous intéresser à la
direction z. Soient 3 surfaces planes parallèles, de dimensions bien supérieures à l, S −1 , S 0 et
S +1 situées respectivement en z = −l, 0 et +l. Soit u(x, y, z) la vitesse moyenne des particules
(vitesse hydrodynamique). Elle dépend, pour la situation hors d’équilibre que nous considérons
ici, de la position considérée.
1- En utilisant les résultats de la section 7.5, calculer la composante mu y de la quantité de mouvement qui est en moyenne transportée, par unité de surface et de temps, au travers de S 0 . Cette
quantité est la composante P yz du tenseur de pression.
2- Le coeffcient de viscosité h, est défini par la relation :
P yz = −h
∂u y
∂z
Donner, au premier ordre, l’expression de h.
3- Quelle sont les unités de P yz et de h ?
4- On considère maintenant le problème du transport d’énergie cinétique ´(x, y, z), où ´ est
l’énergie cinétique moyenne d’une molécule (´ =
3
2 kT pour un gaz monoatomique). Ceci correspond à un flux de chaleur Q(x, y, z). Par le même raisonnement que ce qui est demandé dans les
questions précédentes, calculer la conductivité thermique K du fluide définie comme :
Q z = −K
∂T
∂z
5- Exprimer le rapport K/h en fonction de la capacité calorifique molaire à volume constant C v
et de la masse molaire M du gaz. Montrer que (KM)/(hC v ) = 1.
2. Relation d’Einstein
Soit une particule de Brown de masse M et de charge e immergée dans un liquide à la température
T. Nous supposerons qu’elle ne peut avoir qu’un mouvement dans une dimension repérée par
l’axe x. L’ensemble est placé dans un champ électrique uniforme d’intensité E dirigé selon l’axe
x. Le coefficient de friction du fluide est constant et égal à g.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Dans cette équation, la seule trace qui reste du milieu se résume dans la température T,
la constante de friction g et la constante de diffusion D qui sont reliées entre-elles par la
relation d’Einstein généralisée (111).
Signalons enfin que l’on peut, par intégration sur P ou Q, obtenir, à partir de (110),
une équation de Fokker Planck dans l’espace des coordonnées ou des impulsions.
EXERCICES
1. Viscosité et conductivité thermique
On peut décrire, de manière élémentaire, les propriétés de transport d’un fluide en supposant que
les propriétés cinétiques des molécules en un point donné sont influencées par celles des molécules qui sont dans le voisinage immédiat. Dans l’hypothèse du chaos moléculaire, sur laquelle
était basé l’équation de Boltzmann, ce voisinage contient les molécules qui ont subi une dernière
collision avec les molécules du reste du système. Ceci correspond donc à une distance de l’ordre
du libre parcours moyen l des molécules dans le fluide considéré. Pour expliciter cela sur un
exemple simple, nous allons considérer un système d’axes cartésiens Oxyz et nous intéresser à la
direction z. Soient 3 surfaces planes parallèles, de dimensions bien supérieures à l, S −1 , S 0 et
S +1 situées respectivement en z = −l, 0 et +l. Soit u(x, y, z) la vitesse moyenne des particules
(vitesse hydrodynamique). Elle dépend, pour la situation hors d’équilibre que nous considérons
ici, de la position considérée.
1- En utilisant les résultats de la section 7.5, calculer la composante mu y de la quantité de mouvement qui est en moyenne transportée, par unité de surface et de temps, au travers de S 0 . Cette
quantité est la composante P yz du tenseur de pression.
2- Le coeffcient de viscosité h, est défini par la relation :
P yz = −h
∂u y
∂z
Donner, au premier ordre, l’expression de h.
3- Quelle sont les unités de P yz et de h ?
4- On considère maintenant le problème du transport d’énergie cinétique ´(x, y, z), où ´ est
l’énergie cinétique moyenne d’une molécule (´ =
3
2 kT pour un gaz monoatomique). Ceci correspond à un flux de chaleur Q(x, y, z). Par le même raisonnement que ce qui est demandé dans les
questions précédentes, calculer la conductivité thermique K du fluide définie comme :
Q z = −K
∂T
∂z
5- Exprimer le rapport K/h en fonction de la capacité calorifique molaire à volume constant C v
et de la masse molaire M du gaz. Montrer que (KM)/(hC v ) = 1.
2. Relation d’Einstein
Soit une particule de Brown de masse M et de charge e immergée dans un liquide à la température
T. Nous supposerons qu’elle ne peut avoir qu’un mouvement dans une dimension repérée par
l’axe x. L’ensemble est placé dans un champ électrique uniforme d’intensité E dirigé selon l’axe
x. Le coefficient de friction du fluide est constant et égal à g.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.