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Physique statistique
du membre de droite est associé à la dérive, dans l’espace de phase du degré de liberté
collectif, de la valeur moyenne de la distribution f (Q, P, t) ; le second est associé à son
élargissement. Par suite du théorème de fluctuation dissipation, g et D sont reliés entreeux par la relation d’Einstein généralisée :
D = gkT
(111)
Celle-ci est différente de (65) mais cela provient de ce le processus de diffusion a lieu
dans l’espace de phase. On peut montrer, à partir de (110), que la valeur moyenne Q obéit
à l’équation de Newton dans laquelle intervient la force de friction −g ˙
Q. Les variances
s QQ = (Q − Q) 2 , s QP = s PQ = (Q − Q)(P − P) et s PP = (P − P) 2 , obéissent à des
équations différentielles linéaires du premier ordre couplées entre elles. Si les conditions
initiales sont une distribution de Dirac :
f (Q, P, t) = d(Q − Q 0 ) d(P − P 0 )
(112)
i.e. si pour t = 0 on a Q = Q 0 et P = P 0 , alors f (Q, P, t > 0) est une gaussienne
dans l’espace de phase qui s’élargit au cours du temps. On a donc bien un processus de
diffusion dans l’espace de phase.
Remarques. 1- L’élimination des {x i } peut se faire par des méthodes de projection. L’une
d’entre-elle est due à Nakajima et Zwanzig. L’analogie que l’on peut prendre est celle
d’un vecteur que l’on projette dans le sous-espace des degrés de liberté collectifs. Il est
clair que la projection dépend des autres dimensions, sauf si le vecteur est contenu tout
entier dans le sous espace (ceci correspond au cas où il n’y a pas de couplage entre les
degrés de liberté collectifs et intrinsèques). Cette dépendance est entièrement contenue
dans la température T, le coefficient de friction g (qui est lié à la fonction de réponse du
système) et le coefficient de diffusion D (lié à la fonction de corrélation).
2- On cherche très souvent la solution de (110) sous la forme d’une gaussienne. En effet,
au lieu de résoudre une équation aux dérivées partielles, il suffit de résoudre des équations
différentielles ordinaires pour la valeur moyenne et pour les variances. C’est une bonne
approximation si l’on peut, en chaque point de la trajectoire de Q, remplacer le potentiel
U (Q) par une parabole osculatrice. C’est ce que l’on appelle l’approximation harmonique
locale. Celle-ci n’est valable que si les fluctuations de Q autour de Q sont faibles au cours
du temps.
Nous avons traité jusqu’ici le cas d’un degré de liberté collectif Q couplé à un thermostat constitué des degrés de liberté internes {x i }. L’équation de Kramers-Chandrasekhar
s’applique également au mouvement brownien. Une manière de l’obtenir est de partir
d’une équation de Boltzmann pour un mélange de deux gaz (la particule de Brown et
le milieu). Le couplage entre la particule de Brown et le milieu, qui joue le rôle d’un
thermostat à température T, se fait par l’intermédiaire du terme de collisions. Comme
la masse de la particule de Brown est bien supérieure à celle des particules du milieu,
ce dernier se relaxe très vite vers l’équilibre et cela permet de simplifier le terme de
collisions. On aboutit à l’équation de Kramers-Chandrasekhar suivante :
∂f
∂t
+
v ·
∂
∂r
f +
F·
∂
∂p
f = g
∂
∂p
· vf + D
∂ 2
∂p 2 f
(113)
Physique statistique
du membre de droite est associé à la dérive, dans l’espace de phase du degré de liberté
collectif, de la valeur moyenne de la distribution f (Q, P, t) ; le second est associé à son
élargissement. Par suite du théorème de fluctuation dissipation, g et D sont reliés entreeux par la relation d’Einstein généralisée :
D = gkT
(111)
Celle-ci est différente de (65) mais cela provient de ce le processus de diffusion a lieu
dans l’espace de phase. On peut montrer, à partir de (110), que la valeur moyenne Q obéit
à l’équation de Newton dans laquelle intervient la force de friction −g ˙
Q. Les variances
s QQ = (Q − Q) 2 , s QP = s PQ = (Q − Q)(P − P) et s PP = (P − P) 2 , obéissent à des
équations différentielles linéaires du premier ordre couplées entre elles. Si les conditions
initiales sont une distribution de Dirac :
f (Q, P, t) = d(Q − Q 0 ) d(P − P 0 )
(112)
i.e. si pour t = 0 on a Q = Q 0 et P = P 0 , alors f (Q, P, t > 0) est une gaussienne
dans l’espace de phase qui s’élargit au cours du temps. On a donc bien un processus de
diffusion dans l’espace de phase.
Remarques. 1- L’élimination des {x i } peut se faire par des méthodes de projection. L’une
d’entre-elle est due à Nakajima et Zwanzig. L’analogie que l’on peut prendre est celle
d’un vecteur que l’on projette dans le sous-espace des degrés de liberté collectifs. Il est
clair que la projection dépend des autres dimensions, sauf si le vecteur est contenu tout
entier dans le sous espace (ceci correspond au cas où il n’y a pas de couplage entre les
degrés de liberté collectifs et intrinsèques). Cette dépendance est entièrement contenue
dans la température T, le coefficient de friction g (qui est lié à la fonction de réponse du
système) et le coefficient de diffusion D (lié à la fonction de corrélation).
2- On cherche très souvent la solution de (110) sous la forme d’une gaussienne. En effet,
au lieu de résoudre une équation aux dérivées partielles, il suffit de résoudre des équations
différentielles ordinaires pour la valeur moyenne et pour les variances. C’est une bonne
approximation si l’on peut, en chaque point de la trajectoire de Q, remplacer le potentiel
U (Q) par une parabole osculatrice. C’est ce que l’on appelle l’approximation harmonique
locale. Celle-ci n’est valable que si les fluctuations de Q autour de Q sont faibles au cours
du temps.
Nous avons traité jusqu’ici le cas d’un degré de liberté collectif Q couplé à un thermostat constitué des degrés de liberté internes {x i }. L’équation de Kramers-Chandrasekhar
s’applique également au mouvement brownien. Une manière de l’obtenir est de partir
d’une équation de Boltzmann pour un mélange de deux gaz (la particule de Brown et
le milieu). Le couplage entre la particule de Brown et le milieu, qui joue le rôle d’un
thermostat à température T, se fait par l’intermédiaire du terme de collisions. Comme
la masse de la particule de Brown est bien supérieure à celle des particules du milieu,
ce dernier se relaxe très vite vers l’équilibre et cela permet de simplifier le terme de
collisions. On aboutit à l’équation de Kramers-Chandrasekhar suivante :
∂f
∂t
+
v ·
∂
∂r
f +
F·
∂
∂p
f = g
∂
∂p
· vf + D
∂ 2
∂p 2 f
(113)