13 • Phénomènes de transport
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Il est important d’être capable de décrire l’évolution de ces degrés de liberté collectifs
car ils sont associés à la physique que l’on observe. La difficulté provient de ce qu’ils
sont couplés aux degrés de liberté intrinsèques qui sont très nombreux et varient très
rapidement. Lorsque le couplage est faible et lorsque les échelles de temps sont suffisamment différentes, il est possible de déduire une équation de transport dans l’espace
de phase des degrés de liberté collectifs connue sous le nom d’équation de KramersChandrasekhar. Nous allons en donner l’essence sans entrer dans les détails de ce sujet
qui nécessite des développements qui vont bien au-delà de ce cours élémentaire.
Pour simplifier, nous nous limiterons au cas d’un seul degré de liberté collectif Q dont
le moment conjugué est P = M ˙
Q. La quantité M est l’inertie associée à ce mode collectif.
Soit {x i } l’ensemble des degrés de liberté intrinsèques du système, i.e. ceux associés aux
particules qui le composent. Lorsque l’on excite le degré de liberté collectif Q, celui-ci
revient ensuite à l’équilibre. Le temps caractéristique pour atteindre ce dernier est le
temps de relaxation t Q . Soit t ∗ le temps de relaxation associé aux degrés de libertés
intrinsèques. C’est le temps caractéristique mis par ceux-ci pour atteindre l’équilibre
lorsqu’ils sont légèrement perturbés lors de la variation de Q. Les hypothèses sont les
suivantes :
1- Le mouvement collectif est lent comparé à celui des degrés de liberté intrinsèques. En
d’autres termes, t ∗ t Q .
2- Le degré de liberté collectif est faiblement couplé aux degrés de liberté internes.
Ces hypothèses conduisent à séparer l’ensemble des degrés de liberté du système en
deux catégories : le degré de liberté collectif qui varie lentement au cours du temps, et
les degrés de liberté intrinsèques que l’on peut toujours supposer en équilibre thermique
(t ∗ t Q ). Ils jouent donc le rôle d’un thermostat pour Q.
En partant de l’équation de Liouville, on peut, moyennant ces hypothèses, éliminer les
degrés de liberté intrinsèques et obtenir une équation pour le mouvement collectif. Toutefois, par suite du couplage existant entre Q et {x i }, cette équation dépend des propriétés
du sous-système constitué par les {x i } qui joue le rôle d’un thermostat pour Q. Ces propriétés sont la température T des degrés de liberté intrinsèques ainsi que les fonctions de
réponse et de corrélation qui contiennent toute l’information sur le couplage entre Q et
les {x i }. La fonction de réponse est en partie liée à la dissipation du mouvement collectif.
Celle-ci se traduit par un transfert irréversible d’énergie de Q vers le thermostat {x i }. La
fonction de corrélation est quant à elle liée aux fluctuations associées à cette dissipation.
Comme nous l’avons signalé plus haut, dissipation et fluctuations sont liées entre-elles
par le théorème de fluctuation dissipation.
Si f (Q, P, t) est la fonction de distribution associée au mouvement collectif, on obtient,
avec ces hypothèses, l’équation de Kramers-Chandrasekar :
∂f
∂t
+
P
M
∂
∂Q
f +
F
∂
∂P
f =
g
M
∂
∂P
(Pf ) + D
∂ 2
∂P 2 f
(110)
où F est la force s’exerçant sur Q (F = −
∂U (Q)
∂Q
, où U (Q) est l’énergie potentielle
collective), g le coefficient de friction et D le coefficient de diffusion. Le premier terme
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Il est important d’être capable de décrire l’évolution de ces degrés de liberté collectifs
car ils sont associés à la physique que l’on observe. La difficulté provient de ce qu’ils
sont couplés aux degrés de liberté intrinsèques qui sont très nombreux et varient très
rapidement. Lorsque le couplage est faible et lorsque les échelles de temps sont suffisamment différentes, il est possible de déduire une équation de transport dans l’espace
de phase des degrés de liberté collectifs connue sous le nom d’équation de KramersChandrasekhar. Nous allons en donner l’essence sans entrer dans les détails de ce sujet
qui nécessite des développements qui vont bien au-delà de ce cours élémentaire.
Pour simplifier, nous nous limiterons au cas d’un seul degré de liberté collectif Q dont
le moment conjugué est P = M ˙
Q. La quantité M est l’inertie associée à ce mode collectif.
Soit {x i } l’ensemble des degrés de liberté intrinsèques du système, i.e. ceux associés aux
particules qui le composent. Lorsque l’on excite le degré de liberté collectif Q, celui-ci
revient ensuite à l’équilibre. Le temps caractéristique pour atteindre ce dernier est le
temps de relaxation t Q . Soit t ∗ le temps de relaxation associé aux degrés de libertés
intrinsèques. C’est le temps caractéristique mis par ceux-ci pour atteindre l’équilibre
lorsqu’ils sont légèrement perturbés lors de la variation de Q. Les hypothèses sont les
suivantes :
1- Le mouvement collectif est lent comparé à celui des degrés de liberté intrinsèques. En
d’autres termes, t ∗ t Q .
2- Le degré de liberté collectif est faiblement couplé aux degrés de liberté internes.
Ces hypothèses conduisent à séparer l’ensemble des degrés de liberté du système en
deux catégories : le degré de liberté collectif qui varie lentement au cours du temps, et
les degrés de liberté intrinsèques que l’on peut toujours supposer en équilibre thermique
(t ∗ t Q ). Ils jouent donc le rôle d’un thermostat pour Q.
En partant de l’équation de Liouville, on peut, moyennant ces hypothèses, éliminer les
degrés de liberté intrinsèques et obtenir une équation pour le mouvement collectif. Toutefois, par suite du couplage existant entre Q et {x i }, cette équation dépend des propriétés
du sous-système constitué par les {x i } qui joue le rôle d’un thermostat pour Q. Ces propriétés sont la température T des degrés de liberté intrinsèques ainsi que les fonctions de
réponse et de corrélation qui contiennent toute l’information sur le couplage entre Q et
les {x i }. La fonction de réponse est en partie liée à la dissipation du mouvement collectif.
Celle-ci se traduit par un transfert irréversible d’énergie de Q vers le thermostat {x i }. La
fonction de corrélation est quant à elle liée aux fluctuations associées à cette dissipation.
Comme nous l’avons signalé plus haut, dissipation et fluctuations sont liées entre-elles
par le théorème de fluctuation dissipation.
Si f (Q, P, t) est la fonction de distribution associée au mouvement collectif, on obtient,
avec ces hypothèses, l’équation de Kramers-Chandrasekar :
∂f
∂t
+
P
M
∂
∂Q
f +
F
∂
∂P
f =
g
M
∂
∂P
(Pf ) + D
∂ 2
∂P 2 f
(110)
où F est la force s’exerçant sur Q (F = −
∂U (Q)
∂Q
, où U (Q) est l’énergie potentielle
collective), g le coefficient de friction et D le coefficient de diffusion. Le premier terme
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.