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Physique statistique
En suivant les mêmes étapes que précédemment, on a :
x
2 ∂P
∂x
dx =
∂
∂x
x
2 P
dx −
2xP dx =
x
2 P
+∞
−∞
− 2 = −2 (104)
et :
x
2 ∂ 2 P
∂x 2 dx =
∂
∂x
x
2 ∂P
∂x
dx −
2x
∂P
∂x
dx
=
x
2 ∂P
∂x
+∞
−∞
−
2
∂
∂x
(Px) dx +
2P dx = 2
(105)
En regroupant les termes on obtient :
d
dt
2
>= 2D
(1) +2D
(2)
(106)
Comme = D (1) t, cela conduit à :
d
dt
2
>= 2
D
(1)
2 t + 2D
(2)
(107)
Soit, après intégration et en tenant compte des conditions initiales :
2
>=
D
(1)
2 t
2 + 2D
(2) t =
2 +2D
(2) t
D’où, pour la variance s 2 = − 2 :
s
2 = 2D
(2) t
(108)
La solution de l’équation de Fokker Planck, avec les conditions initiales citées plus haut
s’écrit :
P(x, t) =
1
√
4pD (2) t
exp
−
(x − D (1) t) 2
4D (2) t
(109)
On vérifie que lorsque t → 0, P(x, t) → d(x).
13.8 L’ÉQUATION DE KRAMERS-CHANDRASEKHAR
De nombreux systèmes physiques sont le siège de phénomènes collectifs. Ceux-ci correspondent à un mouvement cohérent des particules qui le constituent. C’est le cas, par
exemple, du noyau atomique qui est constitué de protons et de neutrons. On peut, dans
certaines conditions, considérer le noyau comme une goutte de liquide nucléaire. Celleci peut se déformer de diverses manières selon les excitations qui sont mises en jeu.
Une des plus connues conduit au phénomène de fission, i.e. à la cassure du noyau en
deux morceaux. Le phénomène de fission est celui qui permet de produire de l’énergie dans les réacteurs nucléaires. Généralement, les degrés de liberté collectifs associés
à ces phénomènes cohérents ont une variation lente en fonction du temps comparée à
celle des degrés de liberté, dits intrinsèques ou internes, qui sont associés au mouvement
individuel des particules.