13 • Phénomènes de transport
299
Pour passer de la deuxième à la troisième ligne de l’expression ci-dessus, nous avons
utilisé la relation (12.21). La valeur moyenne s’exprime en fonction de la probabilité de transition W(v, t|v 0 , 0) mais ceci n’est vrai que parce qu’au temps t = 0, v = v 0 .
La recherche des solutions de l’équation de Fokker Planck est complexe. Si l’on a
x = 0 pour t = 0 (P(x, 0) = d(x)), la solution est une gaussienne qui s’élargit au cours du
temps. Une gaussienne est complètement déterminée par sa valeur moyenne et par
sa variance s 2 = − 2 . Son expression normalisée est :
P(x, t) =
1
√
2ps 2
exp
(x− )
2
2s 2
(97)
Calculons, à l’aide de l’équation de Fokker Planck, les quantités et . Pour
cela, multiplions les deux membres de l’équation de Fokker Planck par x et intégrons
sur tout l’espace. Comme nous l’avons signalé plus haut, nous supposerons, pour alléger
les notations, que
· · · dx =
+∞
−∞ · · · dx. Pour évaluer les intégrales définies, nous tiendrons compte du fait que P(x, t), ainsi que toutes ses dérivées, tendent vers zéro lorsque
x → ±∞ plus vite que tout polynôme en x. Cette condition assure que tous les moments de x sont finis. Nous supposerons de plus que les coefficients D (1) et D (2) sont des
constantes. On obtient alors :
x
∂P
∂t
dx = −D
(1)
x
∂P
∂x
dx + D
(2)
x
∂ 2 P
∂x 2 dx
(98)
Le membre de gauche s’écrit :
x
∂P
∂t
dx =
∂
∂t
xP dx =
∂
∂t
=
d
dt

(99)
L’intégrale du premier terme du membre de droite s’écrit, après intégration par parties :
x
∂P
∂x
dx =
∂
∂x
(xP) dx −
P dx = [xP]
+∞
−∞ − 1 = −1
(100)
L’intégrale du deuxième membre vaut :
x
∂ 2 P
∂x 2 dx =
∂
∂x
x
∂P
∂x
dx −
∂P
∂x
dx =
x
∂P
∂x
+∞
−∞
− [P]
+∞
−∞ = 0
(101)
En regroupant les termes, on trouve :
d
dt
= D
(1)
=⇒ = D
(1) t
(102)
L’intégration a été faite en tenant compte de la condition initiale (t = 0, x = 0). La valeur
moyenne s’éloigne de la valeur initiale proportionnellement au temps. La quantité D (1)
a la dimension d’une vitesse. C’est la vitesse de dérive.
Procédons de la même manière pour . On a :
x
2 ∂P
∂t
dx = −D
(1)
x
2 ∂P
∂x
dx + D
(2)
x
2 ∂ 2 P
∂x 2 dx =
d
dt
2
>
(103)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.