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Physique statistique
Exemple. Un bon exemple pour illustrer le type de phénomène physique que décrit l’équation
de Fokker-Planck est celui d’une goutte de colorant que l’on dépose à la surface d’une rivière.
On observe que la tache colorée s’élargit au cours du temps et que son centre se déplace sous
l’effet du courant de la rivière qui joue le rôle de champ extérieur. Le phénomène de diffusion est
décrit par le terme
∂
2
∂x 2
D
(2)
P(x, t)
alors que la dérive de la goutte de colorant est décrite par le
terme −
∂
∂x
D
(1)
P(x, t)
.
Lorsque la force de dérive est nulle, on a seulement un phénomène de diffusion décrit
par l’équation classique :
∂P(x, t)
∂t
=
∂ 2
∂x 2
D
(2)
P(x, t)
(93)
appelée équation de diffusion.
Le raisonnement que nous avons tenu pour la distribution de probabilité de la particule
de Brown aurait pu être fait pour la distribution de vitesse de cette particule. Dans ce
cas, on aurait obtenu une équation de Fokker–Planck pour la distribution de probabilité
P(v, t) :
∂P(v, t)
∂t
= −
∂
∂v
D
(1)
v P(v, t)
+
∂ 2
∂v 2
D
(2)
v P(v, t)
(94)
où les coefficients de dérives et de diffusion, D (1)
v et D (2)
v , sont maintenant associés à
l’espace des vitesses.
Les coefficients de dérive et de diffusion sont des quantités mathématiques mais rien
ne permet d’en fixer la valeur. Pour le faire, il faut prendre en compte la physique du
problème ; c’est ce que nous allons faire maintenant dans le cas du mouvement brownien
unidimensionel.
Nous allons étudier le problème lié à la vitesse d’une particule de Brown en utilisant
les résultats obtenus avec l’équation de Langevin. Pour cela, nous allons d’abord montrer
que la valeur moyenne, prise sur un ensemble, d’une quantité physique g(v) s’exprime
en fonction de la probabilité de transition d’un état de vitesse v 0 au temps t = 0 vers un
état de vitesse v au temps t. Rappelons la définition de la valeur moyenne de g(v) :
=
g(v) P 2 (v, t|v 0 , 0) dv
(95)
Considérons maintenant le cas où, au temps t = 0, la particule a la vitesse v = v 0 . Cela
signifie que P(v , 0) = d(v − v 0 ) puisque P(v , t) est normalisée à l’unité. Compte tenu
de (39), on peut écrire (95) sous la forme :
=
g(v) W(v, t|v
, 0) P(v
, 0) dv
=
g(v) W(v, t|v
, 0) d(v
− v 0 ) dv
=
g(v) W(v, t|v 0 , 0) dv
(96)
Physique statistique
Exemple. Un bon exemple pour illustrer le type de phénomène physique que décrit l’équation
de Fokker-Planck est celui d’une goutte de colorant que l’on dépose à la surface d’une rivière.
On observe que la tache colorée s’élargit au cours du temps et que son centre se déplace sous
l’effet du courant de la rivière qui joue le rôle de champ extérieur. Le phénomène de diffusion est
décrit par le terme
∂
2
∂x 2
D
(2)
P(x, t)
alors que la dérive de la goutte de colorant est décrite par le
terme −
∂
∂x
D
(1)
P(x, t)
.
Lorsque la force de dérive est nulle, on a seulement un phénomène de diffusion décrit
par l’équation classique :
∂P(x, t)
∂t
=
∂ 2
∂x 2
D
(2)
P(x, t)
(93)
appelée équation de diffusion.
Le raisonnement que nous avons tenu pour la distribution de probabilité de la particule
de Brown aurait pu être fait pour la distribution de vitesse de cette particule. Dans ce
cas, on aurait obtenu une équation de Fokker–Planck pour la distribution de probabilité
P(v, t) :
∂P(v, t)
∂t
= −
∂
∂v
D
(1)
v P(v, t)
+
∂ 2
∂v 2
D
(2)
v P(v, t)
(94)
où les coefficients de dérives et de diffusion, D (1)
v et D (2)
v , sont maintenant associés à
l’espace des vitesses.
Les coefficients de dérive et de diffusion sont des quantités mathématiques mais rien
ne permet d’en fixer la valeur. Pour le faire, il faut prendre en compte la physique du
problème ; c’est ce que nous allons faire maintenant dans le cas du mouvement brownien
unidimensionel.
Nous allons étudier le problème lié à la vitesse d’une particule de Brown en utilisant
les résultats obtenus avec l’équation de Langevin. Pour cela, nous allons d’abord montrer
que la valeur moyenne, prise sur un ensemble, d’une quantité physique g(v) s’exprime
en fonction de la probabilité de transition d’un état de vitesse v 0 au temps t = 0 vers un
état de vitesse v au temps t. Rappelons la définition de la valeur moyenne de g(v) :
g(v) P 2 (v, t|v 0 , 0) dv
(95)
Considérons maintenant le cas où, au temps t = 0, la particule a la vitesse v = v 0 . Cela
signifie que P(v , 0) = d(v − v 0 ) puisque P(v , t) est normalisée à l’unité. Compte tenu
de (39), on peut écrire (95) sous la forme :
g(v) W(v, t|v
, 0) P(v
, 0) dv
=
g(v) W(v, t|v
, 0) d(v
− v 0 ) dv
=
g(v) W(v, t|v 0 , 0) dv
(96)