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Physique statistique
13.7 ÉQUATION DE FOKKER–PLANCK
L’équation maîtresse décrivant le mouvement d’une particule de Brown est difficile à
résoudre sous cette forme. Nous allons maintenant montrer que, moyennant quelques
hypothèses simplificatrices, on peut obtenir une équation aux dérivées partielles pour la
distribution de probabilité P(x, t). Partons pour cela de l’identité suivante :
P(x, t + t) =
+∞
−∞
W(x, t + t|x
, t) P(x
, t) dx
(83)
qui relie la distribution de probabilité P(x , t)au temps t, à P(x, t + t) au temps t + t.
Nous supposerons que t 0 et que cette quantité est macroscopiquement petite tout en
restant microscopiquement grande. Cette équation exprime le fait que l’on peut atteindre
le point x au temps t+t à partir de n’importe quel point x au temps t ; c’est la raison pour
laquelle on intègre sur la variable x . La quantité W(x, t + t|x , t) représente la probabilité
de transition de l’état (x , t) à l’état (x, t + t). En utilisant les propriétés de la distribution
de Dirac (cf. section 12.3), on peut écrire l’identité suivante :
W(x, t + t|x
, t) =
+∞
−∞
d(x − y) W(y, t + t|x
, t) dy
(84)
Pour obtenir l’équation cherchée, l’idée est de développer la distribution de Dirac autour
de x − x. On trouve :
d(y − x) = d(x
− x + y − x
) =
∞
n=0
(y − x ) n
n!
∂
∂x
n
d(x
− x)
=
∞
n=0
(y − x ) n
n!
−
∂
∂x
n
d(x
− x)
(85)
Ceci nous permet d’écrire (84) sous la forme :
W (x, t + t|x
, t) =
+∞
−∞
∞
n=0
(y − x ) n
n!
−
∂
∂x
n
d(x
− x) W(y, t + t|x
, t) dy
=
∞
n=0
1
n!
−
∂
∂x
n +∞
−∞
(y − x
)
n d(x
− x) W(y, t + t|x
, t) dy
=
∞
n=0
1
n!
−
∂
∂x
n +∞
−∞
(y − x
)
n W(y, t + t|x
, t) dy
d(x
− x)
(86)
Nous allons définir les moments d’ordre n de la quantité (y − x ) par :
M n (x
, t, t) =
+∞
−∞
(y − x
)
n W(y, t + t|x
, t) dy
(87)