13 • Phénomènes de transport
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Dans cette expression, le signe d’intégration désigne une intégrale triple prise dans tout
l’espace des vitesses (
dv ≡
+∞
−∞ dv x
+∞
−∞ dv y
+∞
−∞ dv z ). Pour simplifier les expressions du second membre, nous allons faire apparaître f (r, v,t) plutôt que ses dérivées car
cela permettra d’introduire des moyennes. De plus, nous utiliserons les faits suivants :
• Les variables r, v et t sont indépendantes. Cela signifie, en particulier, que l’on peut
permuter l’intégration et la différentiation par rapport à deux variables indépendantes
(
∂
∂t
. . . dv =
∂
∂t
. . . dv, par exemple).
• La distribution f (r, v,t) → 0 lorsque v x , v y et v z → ∞. En effet, aucune particule ne
peut avoir une vitesse infinie.
Les expressions devenant vite très lourdes, il est commode d’utiliser la notation d’Einstein. Pour cela, nous désignerons les indices des composantes des vecteurs par des
lettres grecques et nous conviendrons qu’il y a sommation des indices de 1 à 3 lorsqu’il
y a répétition de ceux-ci. Ainsi, l’expression a a b a signifie en fait
3
a=1 a a b a .
Compte tenu de ce qui vient d’être dit, le premier terme du membre de droite de
l’équation (3) peut s’écrire comme :
∂f
∂t
Q dv =
∂
∂t
(fQ) − f
∂Q
∂t
dv =
∂
∂t
fQ dv −
f
∂Q
∂t
dv
(4)
Ce qui donne :
∂f
∂t
Q dv =
∂ n Q
∂t
− n
∂Q
∂t
(5)
Notons que la manipulation que nous avons faite n’est rien d’autre qu’une intégration
par parties. Pour la deuxième intégrale du membre de droite de (3) nous allons utiliser
la convention d’Einstein (ici r a = x , y ou z selon que a = 1, 2 ou 3). On obtient, en
procédant de la même manière que ci-dessus :
v·
∂f
∂r
Q dv =
v a
∂f
∂r a
Q dv
=
∂
∂r a
(v a fQ) − v a f
∂Q
∂r a
dv
=
∂
∂r a
fv a Q dv −
fv a
∂Q
∂r a
dv
(6)
En effet, le produit scalaire v·
∂f
∂r
s’écrit v x
∂f
∂x
+ v y
∂f
∂y
+ v z
∂f
∂z
= v a
∂f
∂r a
. Ce qui donne, en
introduisant les valeurs moyennes :
v·
∂f
∂r
Q dv =
∂
∂r a
n v a Q
− n v a
∂Q
∂r a
=
∂
∂r
n vQ
− n v·
∂Q
∂r
(7)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.