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Physique statistique
Comme nous avons supposé que la force extérieure F est indépendante de la vitesse
(F = −
∂U(r)
∂r
), nous pouvons écrire pour la troisième intégrale du second membre
de (3) :
F
m
·
∂f
∂v
Q dv =
F a
m
∂f
∂v a
Q dv =
∂
∂v a
F a
m
fQ
−
F a
m
f
∂Q
∂v a
dv
= 0 −
F a
m
f
∂Q
∂v a
dv = −
F a
m
f
∂Q
∂v a
dv
= −n
F a
m
∂Q
∂v a
= −n
F
m
·
∂Q
∂v
(8)
En effet :
∂
∂v a
F a
m
fQ
dv =
∂
∂v x
F x
m
fQ + . . .
dv x dv y dv z
=
F x
m
fQ
vx=+∞
vx=−∞
dv y dv z + . . . = 0
(9)
puisque f (r, v,t) → 0 lorsque v a → ±∞. On obtient donc :
F
m
·
∂f
∂v
Q dv = −n
F a
m
∂Q
∂v a
= −n
F
m
·
∂Q
∂v
(10)
En regroupant les termes et en utilisant la définition (12.49) de l’opérateur D, on trouve
finalement pour le premier membre de l’équation de Boltzmann :
(Df ) Q dv =
∂(n Q)
∂t
+
∂(n v a Q)
∂r a
− n DQ
(11)
puisque DQ =
∂Q
∂t
+ v ·
∂Q
∂r
+
F
m
·
∂Q
∂v
.
Nous allons maintenant nous attaquer au second membre de l’équation (2) qui correspond au terme de collisions. Pour calculer celui-ci, nous allons prendre pour le terme
de collisions la forme (12.83) car elle a l’avantage d’être plus symétrique. Avec cette
expression, on peut écrire :
C(Q) =
I Q dv
(12)
=
(f
f
1 − ff 1 ) v rel s
(v, v 1 → v
, v
1 ) Q(r, v, t) dv dv 1 dv
dv
1
Nous allons maintenant utiliser les propriétés de symétrie de s (équations 12.68-12.71)
pour écrire cette contribution du terme de collisions de manière plus commode. Nous
allons considérer les transformations suivantes :
1. Les permutations v ↔ v 1 et v ↔ v
1 .
2. La réaction inverse qui correspond aux permutations v ↔ v et v 1 ↔ v
1 .
3. Pour la réaction inverse, les permutations v ↔ v
1 et v ↔ v 1 .