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Physique statistique
concernent également l’évolution de grandeurs collectives ou macroscopiques (excitations collectives des noyaux, des atomes ou des gaz, par exemple), couplées à de nombreux degrés de libertés internes au système qui varient rapidement.
Les phénomènes de transport vont de la marche au hasard où les particules se propagent dans un milieu organisé ou non, à des phénomènes où un grand nombre de particules participent de manière cohérente à des phénomènes collectifs (la propagation du
son dans l’air en est un exemple concret).
Dans le chapitre 12, nous avions commencé à aborder ce problème en introduisant une
équation cinétique très célèbre : l’équation de Boltzmann qui permet de décrire un gaz
raréfié. Par équation cinétique, on entend généralement une équation fermée pour la distribution à un corps. Nous nous sommes préoccupés de la relation entre cette équation
et les particules du gaz. Nous allons maintenant étudier quelques propriétés de transport de cette équation (transport de masse et d’impulsion). Nous introduirons également
quelques équations de transport qui sont très utilisées dans la description des phénomènes hors d’équilibre, qu’il s’agisse de phénomènes collectifs dissipatifs ou de marche
au hasard.
13.1 ÉQUATION D’ENSKOG
Chaque particule possède un certain nombre de caractéristiques comme sa masse m,
son impulsion mv, son énergie cinétique
1
2 mv 2 , etc.. Nous allons nous intéresser à une
propriété Q = Q(r, v,t) qui dépend de la position r, de la vitesse v et du temps t de
cette particule. Pour simplifier les notations, nous supposerons, dans ce qui suit, que Q
est un scalaire mais cela n’enlève rien à la généralité du traitement. En effet, si c’est
un vecteur, les trois composantes sont des scalaires et il suffit alors de considérer successivement chaque composante. Notre but est de trouver l’équation d’évolution de la
valeur moyenne, prise sur l’espace des vitesses, de la variable Q en utilisant l’équation
de Boltzmann que nous avons obtenue dans le chapitre précédent. Rappelons la définition de cette valeur moyenne qui est calculée à l’aide de f (r, v,t) et non sur un ensemble
de systèmes (c’est la raison pour laquelle nous avons adopté une notation différente pour
la désigner) :
Q(r,t) =
1
n(r, t)
Q(r, v,t) f (r, v,t) dv
(1)
où n(r, t) est le nombre moyen de particules par unité de volume au temps t.
Pour obtenir l’équation cherchée, multiplions l’équation de Boltzmann (équation (73)
du chapitre 12) par Q(r, v,t) et intégrons sur tout l’espace des vitesses v. On obtient :
(Df ) Q dv =
I
(+) Q dv−
I
(−) Q dv =
IQ dv = C(Q)
( 2 )
Le premier membre de cette équation s’écrit explicitement :
(Df ) Q dv =
∂f
∂t
Q dv +
v·
∂f
∂r
Q dv +
F
m
·
∂f
∂v
Q dv
(3)
Physique statistique
concernent également l’évolution de grandeurs collectives ou macroscopiques (excitations collectives des noyaux, des atomes ou des gaz, par exemple), couplées à de nombreux degrés de libertés internes au système qui varient rapidement.
Les phénomènes de transport vont de la marche au hasard où les particules se propagent dans un milieu organisé ou non, à des phénomènes où un grand nombre de particules participent de manière cohérente à des phénomènes collectifs (la propagation du
son dans l’air en est un exemple concret).
Dans le chapitre 12, nous avions commencé à aborder ce problème en introduisant une
équation cinétique très célèbre : l’équation de Boltzmann qui permet de décrire un gaz
raréfié. Par équation cinétique, on entend généralement une équation fermée pour la distribution à un corps. Nous nous sommes préoccupés de la relation entre cette équation
et les particules du gaz. Nous allons maintenant étudier quelques propriétés de transport de cette équation (transport de masse et d’impulsion). Nous introduirons également
quelques équations de transport qui sont très utilisées dans la description des phénomènes hors d’équilibre, qu’il s’agisse de phénomènes collectifs dissipatifs ou de marche
au hasard.
13.1 ÉQUATION D’ENSKOG
Chaque particule possède un certain nombre de caractéristiques comme sa masse m,
son impulsion mv, son énergie cinétique
1
2 mv 2 , etc.. Nous allons nous intéresser à une
propriété Q = Q(r, v,t) qui dépend de la position r, de la vitesse v et du temps t de
cette particule. Pour simplifier les notations, nous supposerons, dans ce qui suit, que Q
est un scalaire mais cela n’enlève rien à la généralité du traitement. En effet, si c’est
un vecteur, les trois composantes sont des scalaires et il suffit alors de considérer successivement chaque composante. Notre but est de trouver l’équation d’évolution de la
valeur moyenne, prise sur l’espace des vitesses, de la variable Q en utilisant l’équation
de Boltzmann que nous avons obtenue dans le chapitre précédent. Rappelons la définition de cette valeur moyenne qui est calculée à l’aide de f (r, v,t) et non sur un ensemble
de systèmes (c’est la raison pour laquelle nous avons adopté une notation différente pour
la désigner) :
Q(r,t) =
1
n(r, t)
Q(r, v,t) f (r, v,t) dv
(1)
où n(r, t) est le nombre moyen de particules par unité de volume au temps t.
Pour obtenir l’équation cherchée, multiplions l’équation de Boltzmann (équation (73)
du chapitre 12) par Q(r, v,t) et intégrons sur tout l’espace des vitesses v. On obtient :
(Df ) Q dv =
I
(+) Q dv−
I
(−) Q dv =
IQ dv = C(Q)
( 2 )
Le premier membre de cette équation s’écrit explicitement :
(Df ) Q dv =
∂f
∂t
Q dv +
v·
∂f
∂r
Q dv +
F
m
·
∂f
∂v
Q dv
(3)