12 • L’équation de Boltzmann
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3. L’unité de section efficace souvent utilisée en physique nucléaire est le barn (1 barn = 10
−24 cm
2 ).
On considère la collision entre un noyau d’argon (nombre de masse A = 40) et un noyau d’or
(A = 197). À une certaine énergie de bombardement, tous les paramètres d’impact compris entre
0 et bmax = 9, 2 fm conduisent à la fusion du projectile et de la cible.
1- Quelle est la section efficace de fusion ?
2- On envoie un flux d’ions argon complètement épluchés (ils n’ont plus de cortège électronique
et leur charge est 18
+ ) sur une cible d’or de 200 mg/cm
2 . Sachant que le courant correspondant
au flux d’ions argon est de 100 nA, calculer le nombre de réactions de fusion par seconde.
3- Quelle est l’épaisseur de la cible d’or sachant que la masse volumique de l’or est de 19,3
g/cm
3 ?
4. Un noyau émet isotropiquement des particules dans l’espace par émission radioactive. Quelle
est la distribution angulaire des particules émises ?
5. On bombarde un noyau d’or (masse molaire 197 g) par un proton (masse molaire de l’hydrogène 1 g) d’énergie cinétique égale E 1 = 100 MeV (1 eV=1, 6 × 10
−19 J).
1- Calculer en MeV, ´, l’énergie disponible (qui est réellement utilisable) dans le système du
centre de masse et, E, l’énergie d’entraînement du centre de masse.
2- Même problème dans le cas d’une cinématique inverse, i.e. lorsque l’on envoie un noyau d’or
de 100 MeV sur un proton au repos. Quelle est la méthode qui conduit à la plus grande valeur
de ´ ?
6. Montrer les égalités (65).
7. Approximation de relaxation
L’équation de Boltzmann modélise l’évolution d’un gaz dilué vers l’équilibre. Elle est difficile
à résoudre et il faut faire des approximations. Nous allons examiner ici l’approximation de relaxation qui consiste à remplacer le terme de collisions I
(+)
− I
(−) par −(f − f 0 )/t, où f est la
distribution hors d’équilibre, f 0 la distribution d’équilibre et t le temps de relaxation du système
pour atteindre l’équilibre. La quantité t est considérée comme une grandeur connue, obtenue par
exemple par l’expérience. L’approximation de relaxation, bien que très sommaire, a l’avantage
de conduire à une interprétation simple de l’équation de Boltzmann. Cette dernière s’écrit alors :
Df = −
f − f 0
t
1- Montrer que les collisions ne perturbent pas l’équilibre.
2- Donner la solution de cette équation, en l’absence de champ extérieur, dans le cas d’un système
qui est homogène spatialement mais pas dans l’espace des vitesses.
8. Approximation de diffusion
Partons de l’équation de Boltzmann dans l’approximation de relaxation (cf. exercice 7) :
Df = −
f − f 0
t
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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3. L’unité de section efficace souvent utilisée en physique nucléaire est le barn (1 barn = 10
−24 cm
2 ).
On considère la collision entre un noyau d’argon (nombre de masse A = 40) et un noyau d’or
(A = 197). À une certaine énergie de bombardement, tous les paramètres d’impact compris entre
0 et bmax = 9, 2 fm conduisent à la fusion du projectile et de la cible.
1- Quelle est la section efficace de fusion ?
2- On envoie un flux d’ions argon complètement épluchés (ils n’ont plus de cortège électronique
et leur charge est 18
+ ) sur une cible d’or de 200 mg/cm
2 . Sachant que le courant correspondant
au flux d’ions argon est de 100 nA, calculer le nombre de réactions de fusion par seconde.
3- Quelle est l’épaisseur de la cible d’or sachant que la masse volumique de l’or est de 19,3
g/cm
3 ?
4. Un noyau émet isotropiquement des particules dans l’espace par émission radioactive. Quelle
est la distribution angulaire des particules émises ?
5. On bombarde un noyau d’or (masse molaire 197 g) par un proton (masse molaire de l’hydrogène 1 g) d’énergie cinétique égale E 1 = 100 MeV (1 eV=1, 6 × 10
−19 J).
1- Calculer en MeV, ´, l’énergie disponible (qui est réellement utilisable) dans le système du
centre de masse et, E, l’énergie d’entraînement du centre de masse.
2- Même problème dans le cas d’une cinématique inverse, i.e. lorsque l’on envoie un noyau d’or
de 100 MeV sur un proton au repos. Quelle est la méthode qui conduit à la plus grande valeur
de ´ ?
6. Montrer les égalités (65).
7. Approximation de relaxation
L’équation de Boltzmann modélise l’évolution d’un gaz dilué vers l’équilibre. Elle est difficile
à résoudre et il faut faire des approximations. Nous allons examiner ici l’approximation de relaxation qui consiste à remplacer le terme de collisions I
(+)
− I
(−) par −(f − f 0 )/t, où f est la
distribution hors d’équilibre, f 0 la distribution d’équilibre et t le temps de relaxation du système
pour atteindre l’équilibre. La quantité t est considérée comme une grandeur connue, obtenue par
exemple par l’expérience. L’approximation de relaxation, bien que très sommaire, a l’avantage
de conduire à une interprétation simple de l’équation de Boltzmann. Cette dernière s’écrit alors :
Df = −
f − f 0
t
1- Montrer que les collisions ne perturbent pas l’équilibre.
2- Donner la solution de cette équation, en l’absence de champ extérieur, dans le cas d’un système
qui est homogène spatialement mais pas dans l’espace des vitesses.
8. Approximation de diffusion
Partons de l’équation de Boltzmann dans l’approximation de relaxation (cf. exercice 7) :
Df = −
f − f 0
t
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.