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Physique statistique
intervenir f (2) . L’hypothèse qui est faite pour se restreindre à l’approximation à 1 corps
consiste à écrire que :
f
(2) (r 1 , p 1 , r 2 , p 2 , t) = f
(1) (r 1 , p 1 , t) × f
(1) (r 2 , p 2 , t)
(121)
i.e. à supposer qu’il n’existe pas de corrélations à 2 corps entre les particules. C’est
l’hypothèse du chaos moléculaire faite par Boltzmann. C’est une approximation d’autant
plus médiocre que l’interaction entre les particules est forte puisque celles-ci créent des
corrélations. Cette approximation a aussi pour importante conséquence d’obtenir une
équation (l’équation de Boltzmann) qui est non linéaire.
Nous terminerons ce chapitre en revenant sur le problème de l’entropie d’un gaz
dilué. Il s’agit là de celle correspondant à une situation hors d’équilibre. Si on la
définit à partir de la fonction de distribution à N particules, f (N) , il est clair qu’elle
reste constante au cours de l’évolution du système car f (N) satisfait à l’équation de
Liouville qui est réversible. L’entropie de Boltzmann, S B , varie au cours du temps
(elle augmente) et atteint la valeur S éq lorsque l’équilibre thermodynamique est atteint. L’entropie thermodynamique hors d’équilibre S th , définie à partir des variables
macroscopiques, contient moins d’information que S B . Par conséquent, S B S th . Ces
deux quantités sont égales lorsque l’équilibre local est atteint et tendent toutes les deux
vers S éq , la valeur d’équilibre. De plus, le chemin pour atteindre l’équilibre peut être
différent entre l’approche thermodynamique hors d’équilibre et celle de Boltzmann.
Cela montre combien le problème est délicat et la situation est beaucoup plus complexe
que pour les phénomènes à l’équilibre. Néanmoins, puisque la plupart des phénomènes
physiques sont des phénomènes hors d’équilibre, il nécessaire d’essayer de les comprendre.
EXERCICES
1. Montrer que P, définie dans la section 12.2.1, vaut : P = −
dP(t)
dt
2. Filiation radioactive
1- Un noyau radioactif se désintègre avec une probabilité par unité de temps égale à l (constante
radioactive). La période de désintégration est définie comme le temps nécessaire pour que la
population initiale de noyaux ait diminué d’un facteur deux. Exprimer T en fonction de l.
2- Nous allons considérer un noyau A 1 dont la constante radioactive est l 1 qui conduit à un
noyau A 2 qui est lui même radioactif. Ce dernier se désintègre avec la constante radioactive l 2
pour donner le noyau stable A 3 .
a) Donner les équations différentielles auxquelles satisfont le nombre de noyaux N i des
noyaux A i .
b) Quelle est la solution de ces équations sachant que pour t = 0, N 1 = N
0
1 et N 2 = N 3 = 0 ?
Physique statistique
intervenir f (2) . L’hypothèse qui est faite pour se restreindre à l’approximation à 1 corps
consiste à écrire que :
f
(2) (r 1 , p 1 , r 2 , p 2 , t) = f
(1) (r 1 , p 1 , t) × f
(1) (r 2 , p 2 , t)
(121)
i.e. à supposer qu’il n’existe pas de corrélations à 2 corps entre les particules. C’est
l’hypothèse du chaos moléculaire faite par Boltzmann. C’est une approximation d’autant
plus médiocre que l’interaction entre les particules est forte puisque celles-ci créent des
corrélations. Cette approximation a aussi pour importante conséquence d’obtenir une
équation (l’équation de Boltzmann) qui est non linéaire.
Nous terminerons ce chapitre en revenant sur le problème de l’entropie d’un gaz
dilué. Il s’agit là de celle correspondant à une situation hors d’équilibre. Si on la
définit à partir de la fonction de distribution à N particules, f (N) , il est clair qu’elle
reste constante au cours de l’évolution du système car f (N) satisfait à l’équation de
Liouville qui est réversible. L’entropie de Boltzmann, S B , varie au cours du temps
(elle augmente) et atteint la valeur S éq lorsque l’équilibre thermodynamique est atteint. L’entropie thermodynamique hors d’équilibre S th , définie à partir des variables
macroscopiques, contient moins d’information que S B . Par conséquent, S B S th . Ces
deux quantités sont égales lorsque l’équilibre local est atteint et tendent toutes les deux
vers S éq , la valeur d’équilibre. De plus, le chemin pour atteindre l’équilibre peut être
différent entre l’approche thermodynamique hors d’équilibre et celle de Boltzmann.
Cela montre combien le problème est délicat et la situation est beaucoup plus complexe
que pour les phénomènes à l’équilibre. Néanmoins, puisque la plupart des phénomènes
physiques sont des phénomènes hors d’équilibre, il nécessaire d’essayer de les comprendre.
EXERCICES
1. Montrer que P, définie dans la section 12.2.1, vaut : P = −
dP(t)
dt
2. Filiation radioactive
1- Un noyau radioactif se désintègre avec une probabilité par unité de temps égale à l (constante
radioactive). La période de désintégration est définie comme le temps nécessaire pour que la
population initiale de noyaux ait diminué d’un facteur deux. Exprimer T en fonction de l.
2- Nous allons considérer un noyau A 1 dont la constante radioactive est l 1 qui conduit à un
noyau A 2 qui est lui même radioactif. Ce dernier se désintègre avec la constante radioactive l 2
pour donner le noyau stable A 3 .
a) Donner les équations différentielles auxquelles satisfont le nombre de noyaux N i des
noyaux A i .
b) Quelle est la solution de ces équations sachant que pour t = 0, N 1 = N
0
1 et N 2 = N 3 = 0 ?