12 • L’équation de Boltzmann
271
Dans cette section, nous allons donner quelques idées sur le lien qui existe entre l’approche de Boltzmann et une description microscopique basée sur l’équation de Liouville.
Pour ce faire, il est naturel d’introduire la fonction de distribution à un corps :
f
(1) (r 1 , p 1 , t) =
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t) dr 2 dp 2 . . . dr N dp N
(116)
Celle-ci est normalisée à l’unité :
f
(1) (r 1 , p 1 , t) dr 1 dp 1 = 1
(117)
Sa définition diffère en cela de f p (r, p, t) que nous avions normalisé au nombre total N
de particules (cf. note 3) :
f p (r, p, t) dr dp = N
(118)
Mis à part cette différence triviale, il en existe une autre plus importante qui provient
du fait que f p (r, p, t) a été lissée sur un élément de volume macroscopiquement petit
mais microscopiquement grand. Pour expliciter ce point, prenons le cas de particules
ponctuelles bien localisées et dont l’impulsion est bien définie (nous supposons ici que
la mécanique classique s’applique et que nous ne sommes pas limités par les phénomènes
quantiques). Alors :
f
(1) (r, p, t) =
1
N
N
i=1
d(r − r i ) d(p − p i )
(119)
La fonction de distribution f (1) (r, p, t) est alors très discontinue. Si l’on divise l’espace
de phase en cellules élémentaires de volume dr dp telles qu’elles contiennent un nombre
appréciable de particules, on peut définir une fonction lissée :
f p (r, p, t) =
N
dr dp
drdp
f
(1) (r, p, t) dr dp
(120)
obtenue en moyennant f (1) (r, p, t) dans chaque cellule de volume dr dp. C’est ainsi que
l’on peut définir la fonction de distribution à 1 corps de Boltzmann.
Voyons maintenant comment f (N) et f (1) sont reliés. En partant de l’équation de Liouville et en effectuant une série de manipulations consistant à intégrer celle-ci sur un
certain nombre de variables, on obtient un système couplé d’équations intégrodifférentielles ayant la structure suivante :
f (1) est reliée à f (2) .
f (2) est reliée à f (3) .
· · ·
f (N−1) est reliée à f (N) .
Ce jeu d’équations est appelé hiérarchie BBGKY (initiales pour Bogolyubov, Born,
Green, Kirkwood et Yvon qui sont les auteurs ayant introduit ce système d’équations
couplées). Pour obtenir un ensemble fermé d’équations, il faut couper cette série en un
certain point. Le plus simple consiste à s’arrêter à l’équation donnant f (1) . Celle-ci fait
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Dans cette section, nous allons donner quelques idées sur le lien qui existe entre l’approche de Boltzmann et une description microscopique basée sur l’équation de Liouville.
Pour ce faire, il est naturel d’introduire la fonction de distribution à un corps :
f
(1) (r 1 , p 1 , t) =
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t) dr 2 dp 2 . . . dr N dp N
(116)
Celle-ci est normalisée à l’unité :
f
(1) (r 1 , p 1 , t) dr 1 dp 1 = 1
(117)
Sa définition diffère en cela de f p (r, p, t) que nous avions normalisé au nombre total N
de particules (cf. note 3) :
f p (r, p, t) dr dp = N
(118)
Mis à part cette différence triviale, il en existe une autre plus importante qui provient
du fait que f p (r, p, t) a été lissée sur un élément de volume macroscopiquement petit
mais microscopiquement grand. Pour expliciter ce point, prenons le cas de particules
ponctuelles bien localisées et dont l’impulsion est bien définie (nous supposons ici que
la mécanique classique s’applique et que nous ne sommes pas limités par les phénomènes
quantiques). Alors :
f
(1) (r, p, t) =
1
N
N
i=1
d(r − r i ) d(p − p i )
(119)
La fonction de distribution f (1) (r, p, t) est alors très discontinue. Si l’on divise l’espace
de phase en cellules élémentaires de volume dr dp telles qu’elles contiennent un nombre
appréciable de particules, on peut définir une fonction lissée :
f p (r, p, t) =
N
dr dp
drdp
f
(1) (r, p, t) dr dp
(120)
obtenue en moyennant f (1) (r, p, t) dans chaque cellule de volume dr dp. C’est ainsi que
l’on peut définir la fonction de distribution à 1 corps de Boltzmann.
Voyons maintenant comment f (N) et f (1) sont reliés. En partant de l’équation de Liouville et en effectuant une série de manipulations consistant à intégrer celle-ci sur un
certain nombre de variables, on obtient un système couplé d’équations intégrodifférentielles ayant la structure suivante :
f (1) est reliée à f (2) .
f (2) est reliée à f (3) .
· · ·
f (N−1) est reliée à f (N) .
Ce jeu d’équations est appelé hiérarchie BBGKY (initiales pour Bogolyubov, Born,
Green, Kirkwood et Yvon qui sont les auteurs ayant introduit ce système d’équations
couplées). Pour obtenir un ensemble fermé d’équations, il faut couper cette série en un
certain point. Le plus simple consiste à s’arrêter à l’équation donnant f (1) . Celle-ci fait
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.