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Physique statistique
Ceci devant être valable quel que soit l’élément de volume, on en déduit :
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
·
∂H
∂p i
−
N
i=1
∂f (N)
∂p i
·
∂H
∂r i
= 0
On appelle crochet de Poisson de deux quantités A et B l’expression :
{A, B} =
N
i=1
∂A
∂r i
·
∂B
∂p i
−
∂A
∂p i
·
∂B
∂r i
(113)
Avec cette notation, on peut écrire (114) sous la forme :
∂f (N)
∂t
=
H, f
(N)
(114)
Cette équation s’appelle l’équation de Liouville. Elle décrit l’évolution de la fonction
de distribution à N corps dans l’espace de phase. Elle est équivalente aux équations de
Hamilton et, par conséquent, complètement réversible. L’équation de Liouville exprime
le fait que la fonction de distribution se comporte comme un fluide incompressible. Elle
présente un intérêt purement théorique car on ne peut pas la résoudre dans la pratique.
À partir de la fonction de distribution à N particules, on peut définir une fonction de
distribution à k particules (k < N) de la manière suivante :
f
(k) (r 1 , p 1 , . . . , r k , p k ) =
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t) dr k+1 dp k+1 . . . dr N dp N
(115)
en intégrant sur N − k variables
4 . Cette procédure va nous permettre, en particulier,
de définir la fonction de distribution à 1 corps et de faire le lien avec l’équation de
Boltzmann.
12.13 DU MICROSCOPIQUE AU MÉSOSCOPIQUE
La distribution à N corps, f (N) , permet de décrire complètement le système à N particules. Pour les systèmes macroscopiques N est très grand et il est nécessaire d’avoir
des descriptions plus approchées. L’équation de Boltzmann en est une pour certains cas
de gaz raréfiés. C’est une approche intermédiaire entre une description microscopique
utilisant f (N) , dans laquelle on suit explicitement chaque particule, et une description
macroscopique constituée par la thermodynamique hors d’équilibre. En effet, dans l’approche introduite à l’occasion de l’équation de Boltzmann, nous avons considéré des
éléments de volume macroscopiquement petits mais microscopiquement grands. Pour
cette raison, on peut qualifier cette approche de mésoscopique, i.e. d’intermédiaire entre
microscopique et macroscopique. De plus l’équation de Boltzmann est une équation
pour la fonction de distribution à un corps.
4. Rappelons ici que chaque variable a 3 composantes (par exemple, r → (x i , y i , z i )).
Physique statistique
Ceci devant être valable quel que soit l’élément de volume, on en déduit :
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
·
∂H
∂p i
−
N
i=1
∂f (N)
∂p i
·
∂H
∂r i
= 0
On appelle crochet de Poisson de deux quantités A et B l’expression :
{A, B} =
N
i=1
∂A
∂r i
·
∂B
∂p i
−
∂A
∂p i
·
∂B
∂r i
(113)
Avec cette notation, on peut écrire (114) sous la forme :
∂f (N)
∂t
=
H, f
(N)
(114)
Cette équation s’appelle l’équation de Liouville. Elle décrit l’évolution de la fonction
de distribution à N corps dans l’espace de phase. Elle est équivalente aux équations de
Hamilton et, par conséquent, complètement réversible. L’équation de Liouville exprime
le fait que la fonction de distribution se comporte comme un fluide incompressible. Elle
présente un intérêt purement théorique car on ne peut pas la résoudre dans la pratique.
À partir de la fonction de distribution à N particules, on peut définir une fonction de
distribution à k particules (k < N) de la manière suivante :
f
(k) (r 1 , p 1 , . . . , r k , p k ) =
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t) dr k+1 dp k+1 . . . dr N dp N
(115)
en intégrant sur N − k variables
4 . Cette procédure va nous permettre, en particulier,
de définir la fonction de distribution à 1 corps et de faire le lien avec l’équation de
Boltzmann.
12.13 DU MICROSCOPIQUE AU MÉSOSCOPIQUE
La distribution à N corps, f (N) , permet de décrire complètement le système à N particules. Pour les systèmes macroscopiques N est très grand et il est nécessaire d’avoir
des descriptions plus approchées. L’équation de Boltzmann en est une pour certains cas
de gaz raréfiés. C’est une approche intermédiaire entre une description microscopique
utilisant f (N) , dans laquelle on suit explicitement chaque particule, et une description
macroscopique constituée par la thermodynamique hors d’équilibre. En effet, dans l’approche introduite à l’occasion de l’équation de Boltzmann, nous avons considéré des
éléments de volume macroscopiquement petits mais microscopiquement grands. Pour
cette raison, on peut qualifier cette approche de mésoscopique, i.e. d’intermédiaire entre
microscopique et macroscopique. De plus l’équation de Boltzmann est une équation
pour la fonction de distribution à un corps.
4. Rappelons ici que chaque variable a 3 composantes (par exemple, r → (x i , y i , z i )).