12 • L’équation de Boltzmann
269
celles-ci :
˙
r i =
∂H
∂p i
et ˙
p i = −
∂H
∂r i
i = 1 à N
(109)
Exprimons maintenant les équations de Hamilton sous une autre forme en introduisant la
fonction de distribution à N corps f (N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t). L’espace de phase associé
à ce problème de N particules a 6N dimensions.
La quantité f (N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t)dr 1 dp 1 . . . dr N dp N représente la probabilité de
trouver N particules dans le volume élémentaire dr 1 dp 1 . . . dr N dp N au temps t
3 . Par
conséquent, si l’on intègre sur tout l’espace de phase :
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t)dr 1 dp 1 . . . dr N dp N = 1
(110)
Considérant un élément de volume dr 1 dp 1 . . . dr N dp N centré en r 1 , p 1 , . . . , r N , p N au
temps t, celui-ci deviendra dr
1 dp
1 . . . dr
N dp
N centré en r
1 , p
1 , . . . , r
N , p
N au temps
t + dt. Les quantités r
1 , p
1 , . . . , r
N , p
N sont déduites de r 1 , p 1 , . . . , r N , p N en utilisant
les équations du mouvement. Par le même raisonnement que celui que nous avons tenu
dans la section 12.6, on peut montrer que cet élément de volume est invariant dans la
transformation, i.e. :
dr
1 dp
1 . . . dr
N dp
N = dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
(111)
Ceci résulte simplement du fait que le jacobien de la transformation est, au second ordre
près, égal à l’unité. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Liouville. Si nous
différentions l’équation (111) par rapport au temps en tenant compte de ce résultat, nous
avons :
d
dt
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t) dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
=
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
·
dr i
dt
+
N
i=1
∂f (N)
∂p i
·
dp i
dt
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
=
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
· ˙
r i +
N
i=1
∂f (N)
∂p i
· ˙
p i
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
=
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
·
∂H
∂p i
−
N
i=1
∂f (N)
∂p i
·
∂H
∂r i
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
= 0
(112)
3. Nous avons choisi de normaliser ici cette fonction à l’unité plutôt qu’au nombre de permutations N! de N
particules pour ne pas alourdir les notations. En effet, dans le cas contraire, il apparaît des facteurs qui, bien
qu’importants dans l’utilisation pratique des ces fonctions, n’apportent rien de plus pour la discussion qualitative
que nous allons faire dans cette section.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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celles-ci :
˙
r i =
∂H
∂p i
et ˙
p i = −
∂H
∂r i
i = 1 à N
(109)
Exprimons maintenant les équations de Hamilton sous une autre forme en introduisant la
fonction de distribution à N corps f (N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t). L’espace de phase associé
à ce problème de N particules a 6N dimensions.
La quantité f (N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t)dr 1 dp 1 . . . dr N dp N représente la probabilité de
trouver N particules dans le volume élémentaire dr 1 dp 1 . . . dr N dp N au temps t
3 . Par
conséquent, si l’on intègre sur tout l’espace de phase :
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t)dr 1 dp 1 . . . dr N dp N = 1
(110)
Considérant un élément de volume dr 1 dp 1 . . . dr N dp N centré en r 1 , p 1 , . . . , r N , p N au
temps t, celui-ci deviendra dr
1 dp
1 . . . dr
N dp
N centré en r
1 , p
1 , . . . , r
N , p
N au temps
t + dt. Les quantités r
1 , p
1 , . . . , r
N , p
N sont déduites de r 1 , p 1 , . . . , r N , p N en utilisant
les équations du mouvement. Par le même raisonnement que celui que nous avons tenu
dans la section 12.6, on peut montrer que cet élément de volume est invariant dans la
transformation, i.e. :
dr
1 dp
1 . . . dr
N dp
N = dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
(111)
Ceci résulte simplement du fait que le jacobien de la transformation est, au second ordre
près, égal à l’unité. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Liouville. Si nous
différentions l’équation (111) par rapport au temps en tenant compte de ce résultat, nous
avons :
d
dt
f
(N) (r 1 , p 1 , . . . , r N , p N , t) dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
=
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
·
dr i
dt
+
N
i=1
∂f (N)
∂p i
·
dp i
dt
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
=
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
· ˙
r i +
N
i=1
∂f (N)
∂p i
· ˙
p i
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
=
∂f (N)
∂t
+
N
i=1
∂f (N)
∂r i
·
∂H
∂p i
−
N
i=1
∂f (N)
∂p i
·
∂H
∂r i
dr 1 dp 1 . . . dr N dp N
= 0
(112)
3. Nous avons choisi de normaliser ici cette fonction à l’unité plutôt qu’au nombre de permutations N! de N
particules pour ne pas alourdir les notations. En effet, dans le cas contraire, il apparaît des facteurs qui, bien
qu’importants dans l’utilisation pratique des ces fonctions, n’apportent rien de plus pour la discussion qualitative
que nous allons faire dans cette section.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.