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Physique statistique
Nous allons définir la température du gaz à partir de l’énergie cinétique moyenne des
particules en utilisant le théorème d’équipartition de l’énergie. Toutefois, il convient de
noter que la vitesse des particules qu’il faut utiliser n’est pas v mais la vitesse intrinsèque
w = v − u. La raison provient de ce que la vitesse hydrodynamique ne correspond
qu’à un mouvement d’entraînement d’ensemble du système alors que w est la vitesse
de nature aléatoire qui est responsable de la température du gaz. Pour s’en convaincre il
suffit d’imaginer que l’on soumette le gaz à un mouvement de translation d’ensemble.
La vitesse u augmente mais la température du gaz reste la même. Par conséquent :
1
2
m(v − u) 2 =
1
2
mw 2 =
3
2
kT
(105)
soit
3n
kT
m
=
(v − u)
2 f dv =
3n
mD
=⇒
D =
1
kT
(106)
Ce qui conduit finalement à :
f = n
m
2pkT
3/2
exp
−
mw 2
2kT
(107)
C’est la distribution de Maxwell dont nous avons déjà parlé dans le chapitre 8. La distribution de Maxwell est donc la solution d’équilibre de l’équation de Boltzmann. Cette
dernière décrit donc l’évolution vers l’équilibre statistique d’un gaz dilué.
12.12 L’ÉQUATION DE LIOUVILLE
La description d’un système de N particules indiscernables de masse m à l’aide de la
fonction de distribution à un corps est une approximation car on néglige les corrélations
entre les particules. L’énergie totale de ce système, que nous supposerons être constitué
de particules ponctuelles obéissant à la mécanique classique, est la somme de l’énergie
cinétique et de l’énergie potentielle que nous supposerons ne dépendre que des coordonnées :
E =
N
i=1
p 2
i
2m
+ V(r 1 , . . . , r N ) = H
(108)
La quantité H est désignée sous le nom de Hamiltonien du système. Il correspond à
l’expression de l’énergie totale du système à l’aide des coordonnées et des impulsions.
La quantité
∂H
∂p i
=
p i
m
= ˙
r i n’est autre que la vitesse de la particule i. Les équations de
Newton, qui donnent l’évolution dynamique des particules du système, peuvent s’écrire
m¨ r i = ˙
p i = −
∂H
∂r i
. L’ensemble de ces deux équations constitue ce que l’on appelle les
équations de Hamilton. Elles sont équivalentes aux équations de Newton. Le premier
jeu définit l’impulsion des particules et le second jeu donne l’évolution dynamique de
Physique statistique
Nous allons définir la température du gaz à partir de l’énergie cinétique moyenne des
particules en utilisant le théorème d’équipartition de l’énergie. Toutefois, il convient de
noter que la vitesse des particules qu’il faut utiliser n’est pas v mais la vitesse intrinsèque
w = v − u. La raison provient de ce que la vitesse hydrodynamique ne correspond
qu’à un mouvement d’entraînement d’ensemble du système alors que w est la vitesse
de nature aléatoire qui est responsable de la température du gaz. Pour s’en convaincre il
suffit d’imaginer que l’on soumette le gaz à un mouvement de translation d’ensemble.
La vitesse u augmente mais la température du gaz reste la même. Par conséquent :
1
2
m(v − u) 2 =
1
2
mw 2 =
3
2
kT
(105)
soit
3n
kT
m
=
(v − u)
2 f dv =
3n
mD
=⇒
D =
1
kT
(106)
Ce qui conduit finalement à :
f = n
m
2pkT
3/2
exp
−
mw 2
2kT
(107)
C’est la distribution de Maxwell dont nous avons déjà parlé dans le chapitre 8. La distribution de Maxwell est donc la solution d’équilibre de l’équation de Boltzmann. Cette
dernière décrit donc l’évolution vers l’équilibre statistique d’un gaz dilué.
12.12 L’ÉQUATION DE LIOUVILLE
La description d’un système de N particules indiscernables de masse m à l’aide de la
fonction de distribution à un corps est une approximation car on néglige les corrélations
entre les particules. L’énergie totale de ce système, que nous supposerons être constitué
de particules ponctuelles obéissant à la mécanique classique, est la somme de l’énergie
cinétique et de l’énergie potentielle que nous supposerons ne dépendre que des coordonnées :
E =
N
i=1
p 2
i
2m
+ V(r 1 , . . . , r N ) = H
(108)
La quantité H est désignée sous le nom de Hamiltonien du système. Il correspond à
l’expression de l’énergie totale du système à l’aide des coordonnées et des impulsions.
La quantité
∂H
∂p i
=
p i
m
= ˙
r i n’est autre que la vitesse de la particule i. Les équations de
Newton, qui donnent l’évolution dynamique des particules du système, peuvent s’écrire
m¨ r i = ˙
p i = −
∂H
∂r i
. L’ensemble de ces deux équations constitue ce que l’on appelle les
équations de Hamilton. Elles sont équivalentes aux équations de Newton. Le premier
jeu définit l’impulsion des particules et le second jeu donne l’évolution dynamique de