12 • L’équation de Boltzmann
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L’entropie de Boltzmann ne peut qu’augmenter au cours du temps. L’expression (99)
constitue le théorème H de Boltzmann. Il dit que l’entropie d’un gaz sans corrélation
qui satisfait à l’équation de Boltzmann ne peut qu’augmenter au cours du temps. Nous
verrons dans la section suivante que lorsque l’on atteint l’équilibre, l’entropie ne varie
plus. Par conséquent, l’équation de Boltzmann décrit la relaxation d’un gaz raréfié vers
l’équilibre.
12.11 DISTRIBUTION D’ÉQUILIBRE
Nous allons considérer un système homogène en l’absence de champ extérieur (F = 0)
et déduire la distribution d’équilibre. Lorsque l’équilibre est atteint, on a
dH
dt
= 0. Ceci
se traduit par :
ff 1 = f
f
1
ou
Log f + Log f 1 = Log f
+ Log f
1
(99)
Ceci revient à dire que Log f est une quantité conservée dans la collision de deux particules. Or, nous savons qu’au cours d’une collision élastique entre deux particules, 5
quantités sont conservées entre l’état initial et l’état final :
• toute constante, la masse m par exemple,
• l’impulsion mv (mv + mv 1 = mv + mv
1 ), soit 3 composantes mv x , mv y et mv z ,
• et l’énergie cinétique.
Il s’ensuit que Log f ne peut être qu’une combinaison linéaire de ces 5 invariants :
Log f = A
+ Bmv − D
1
2
mv
2
(100)
où A , D sont des scalaires et B un vecteur. Ceci permet d’écrire f sous la forme :
f = A
exp
Bmv − D
1
2
mv
2
= A exp
−
mD
2
v −
B
D
2
(101)
où A et A sont aussi des constantes définies à partir des précédentes. Le nombre moyen
de particules par unité de volume et la vitesse moyenne (ou hydrodynamique) sont définis par :
n =
f dv et nu =
vf dv
(102)
Ceci nous donne, après intégration, les deux relations suivantes :
n = A
2p
mD
3/2
et nu =
2AB
D
2p
mD
3/2
=⇒
u =
B
D
(103)
Par conséquent :
f = n
mD
2p
3/2
exp
−
mD
2
(v − u)
2
(104)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.