266
Physique statistique
Car
f Log f
va=+∞
va=−∞
= 0. Le premier terme de la seconde parenthèse de l’équation (92)
peut s’écrire :
( Log f + 1)
−v ·
∂f
∂r
dr dv=
dr
∂
∂r
vf Log f dv
=
dr
∂
∂r
j H =
dr div j H =
dA j H = 0
(93)
Dans l’expression ci-dessus, nous avons introduit le flux d’entropie j H , défini comme
j H =
vf Logf dv, et transformé l’intégrale de volume en intégrale de surface (l’élément
de surface est dA). Le flux d’entropie est nul à l’infini, le système étant fini.
Examinons maintenant la contribution du terme de collisions qui va donner la seule
contribution à
dH
dt
. Pour ce faire nous allons prendre l’expression (83). La quantité
dH
dt
vaut :
dH
dt
=
( Log f + 1)
I
(+)
− I
(−)
dr dv
=
( Log f + 1)
f
f
1 − ff 1
× v rel s
(v, v 1 → v
, v
1 )dr dv dv 1 dv
dv
1
(94)
L’invariance (v ↔ v 1 et v ↔ v
1 ) permet d’écrire :
dH
dt
=
1
2
(2 + Log ff 1 )
f
f
1 − ff 1
× v rel s
dr dv dv 1 dv
dv
1
(95)
Nous allons maintenant utiliser les propriétés de symétrie (68-71) de s (v, v 1 → v , v
1 ).
L’invariance (v ↔ v et v 1 ↔ v
1 ) permet maintenant d’écrire l’expression ci-dessus (en
se souvenant que v
rel = v rel ) comme :
dH
dt
=
1
2
2 + Log f
f
1
ff 1 − f
f
1
× v rel s
dr dv dv 1 dv
dv
1
(96)
Par conséquent, en regroupant (96) et (97) :
dH
dt
= −
1
4
Log
f f
1
ff 1
f
f
1 − ff 1
v rel s
dr dv dv 1 dv
dv
1
(97)
Dans cette expression, nous remarquons que ( Log f f
1 − Log ff 1 )(f f
1 − ff 1 ) varie comme
G(x, y) = (Logx− Logy)(x−y). Cette fonction est toujours positive pour x et y supérieurs
à zéro ce qui est le cas ici. En effet, si x > y, Log x > Log y, donc G(x, y) > 0. De
même, si x < y, Log x < Log y et l’on a encore G(x, y) > 0. Cette expression est nulle
lorsque x = y. Par conséquent :
dH
dt
0 ou
dS B
dt
0
(98)
Physique statistique
Car
f Log f
va=+∞
va=−∞
= 0. Le premier terme de la seconde parenthèse de l’équation (92)
peut s’écrire :
( Log f + 1)
−v ·
∂f
∂r
dr dv=
dr
∂
∂r
vf Log f dv
=
dr
∂
∂r
j H =
dr div j H =
dA j H = 0
(93)
Dans l’expression ci-dessus, nous avons introduit le flux d’entropie j H , défini comme
j H =
vf Logf dv, et transformé l’intégrale de volume en intégrale de surface (l’élément
de surface est dA). Le flux d’entropie est nul à l’infini, le système étant fini.
Examinons maintenant la contribution du terme de collisions qui va donner la seule
contribution à
dH
dt
. Pour ce faire nous allons prendre l’expression (83). La quantité
dH
dt
vaut :
dH
dt
=
( Log f + 1)
I
(+)
− I
(−)
dr dv
=
( Log f + 1)
f
f
1 − ff 1
× v rel s
(v, v 1 → v
, v
1 )dr dv dv 1 dv
dv
1
(94)
L’invariance (v ↔ v 1 et v ↔ v
1 ) permet d’écrire :
dH
dt
=
1
2
(2 + Log ff 1 )
f
f
1 − ff 1
× v rel s
dr dv dv 1 dv
dv
1
(95)
Nous allons maintenant utiliser les propriétés de symétrie (68-71) de s (v, v 1 → v , v
1 ).
L’invariance (v ↔ v et v 1 ↔ v
1 ) permet maintenant d’écrire l’expression ci-dessus (en
se souvenant que v
rel = v rel ) comme :
dH
dt
=
1
2
2 + Log f
f
1
ff 1 − f
f
1
× v rel s
dr dv dv 1 dv
dv
1
(96)
Par conséquent, en regroupant (96) et (97) :
dH
dt
= −
1
4
Log
f f
1
ff 1
f
f
1 − ff 1
v rel s
dr dv dv 1 dv
dv
1
(97)
Dans cette expression, nous remarquons que ( Log f f
1 − Log ff 1 )(f f
1 − ff 1 ) varie comme
G(x, y) = (Logx− Logy)(x−y). Cette fonction est toujours positive pour x et y supérieurs
à zéro ce qui est le cas ici. En effet, si x > y, Log x > Log y, donc G(x, y) > 0. De
même, si x < y, Log x < Log y et l’on a encore G(x, y) > 0. Cette expression est nulle
lorsque x = y. Par conséquent :
dH
dt
0 ou
dS B
dt
0
(98)