12 • L’équation de Boltzmann
265
l’entropie de la manière suivante :
S = −k
f p (r, p, t) Log f p (r, p, t) dr dp+ Constante
(87)
L’expression (88) est celle que l’on utilise habituellement avec l’équation de Boltzmann.
Remarque. On peut signaler qu’il est sans doute plus justifié de définir l’entropie de
Boltzmann comme
2 :
S B = −k
f p (r, p, t)
1 − Log h
3 f p (r, p, t)
dr dp
(88)
car c’est cette expression qui donne l’entropie maximum pour la distribution à un corps,
f
(1)
p (r 1 , p 1 , t), compte tenu du lissage effectué sur f
(1)
p (r 1 , p 1 , t) pour obtenir f p (r, p,t). La
présence du facteur h
3 est naturelle car l’argument d’un logarithme doit être sans dimension. Ce n’est pas le cas de f p (r, p,t) qui a les dimensions de h
−3 . En effet, l’intégrale de
f p (r, p,t) dans tout l’espace de phase est le nombre de particules qui est une quantité sans
dimension. Ceci signifie que f p (r, p,t) a les dimensions de (dr dp)
−1 , soit h
−3 . En fait, ce
facteur va se retrouver dans la constante de l’équation (88).
Nous allons nous intéresser à la quantité H, introduite pour la première fois par Boltzmann :
H =
f (r, v, t) Log f (r, v, t) dr dv =f Log f dr dv
(89)
Cette quantité varie en sens inverse de l’entropie et représente, à quelques constantes
près, l’opposée de celle-ci. Nous allons souvent utiliser dans ce qui suit le fait que la
fonction de distribution f (r, v, t) tend vers zéro lorsque les coordonnées ou les vitesses
tendent vers l’infini. Ceci provient de ce que
f (r, v, t) dr dv = N. Par conséquent
f (r, v, t) doit être intégrable et donc tendre vers zéro lorsque r ou v augmentent indéfiniment. Calculons :
dH
dt
=
∂
∂t
f Log f dr dv =
(1 + Log f )
∂f
∂t
dr dv
(90)
En utilisant l’équation de Boltzmann pour évaluer
∂f
∂t
, on a :
dH
dt
=
( Log f + 1)
−v ·
∂f
∂r
−
F
m
·
∂f
∂v
+ I
(+)
− I
(−)
dr dv
(91)
Le deuxième terme de la seconde parenthèse donne une contribution nulle. En effet,
comme F ne dépend pas de la vitesse :
( Log f + 1)
−
F
m
·
∂f
∂v
dr dv = −
F
m
∂
∂v
(f Log f ) dr dv
= −
F a
m
∂
∂v a
(f Log f ) dr dv = 0 (92)
2. Ce point et le problème de l’entropie associée à l’équation de Boltzmann sont développés dans l’ouvrage From
Microphysics to Macrophysics de Roger Balian édité chez Springer Verlag.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
265
l’entropie de la manière suivante :
S = −k
f p (r, p, t) Log f p (r, p, t) dr dp+ Constante
(87)
L’expression (88) est celle que l’on utilise habituellement avec l’équation de Boltzmann.
Remarque. On peut signaler qu’il est sans doute plus justifié de définir l’entropie de
Boltzmann comme
2 :
S B = −k
f p (r, p, t)
1 − Log h
3 f p (r, p, t)
dr dp
(88)
car c’est cette expression qui donne l’entropie maximum pour la distribution à un corps,
f
(1)
p (r 1 , p 1 , t), compte tenu du lissage effectué sur f
(1)
p (r 1 , p 1 , t) pour obtenir f p (r, p,t). La
présence du facteur h
3 est naturelle car l’argument d’un logarithme doit être sans dimension. Ce n’est pas le cas de f p (r, p,t) qui a les dimensions de h
−3 . En effet, l’intégrale de
f p (r, p,t) dans tout l’espace de phase est le nombre de particules qui est une quantité sans
dimension. Ceci signifie que f p (r, p,t) a les dimensions de (dr dp)
−1 , soit h
−3 . En fait, ce
facteur va se retrouver dans la constante de l’équation (88).
Nous allons nous intéresser à la quantité H, introduite pour la première fois par Boltzmann :
H =
f (r, v, t) Log f (r, v, t) dr dv =f Log f dr dv
(89)
Cette quantité varie en sens inverse de l’entropie et représente, à quelques constantes
près, l’opposée de celle-ci. Nous allons souvent utiliser dans ce qui suit le fait que la
fonction de distribution f (r, v, t) tend vers zéro lorsque les coordonnées ou les vitesses
tendent vers l’infini. Ceci provient de ce que
f (r, v, t) dr dv = N. Par conséquent
f (r, v, t) doit être intégrable et donc tendre vers zéro lorsque r ou v augmentent indéfiniment. Calculons :
dH
dt
=
∂
∂t
f Log f dr dv =
(1 + Log f )
∂f
∂t
dr dv
(90)
En utilisant l’équation de Boltzmann pour évaluer
∂f
∂t
, on a :
dH
dt
=
( Log f + 1)
−v ·
∂f
∂r
−
F
m
·
∂f
∂v
+ I
(+)
− I
(−)
dr dv
(91)
Le deuxième terme de la seconde parenthèse donne une contribution nulle. En effet,
comme F ne dépend pas de la vitesse :
( Log f + 1)
−
F
m
·
∂f
∂v
dr dv = −
F
m
∂
∂v
(f Log f ) dr dv
= −
F a
m
∂
∂v a
(f Log f ) dr dv = 0 (92)
2. Ce point et le problème de l’entropie associée à l’équation de Boltzmann sont développés dans l’ouvrage From
Microphysics to Macrophysics de Roger Balian édité chez Springer Verlag.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.