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Physique statistique
Nous avons obtenu l’équation de Boltzmann pour un gaz dilué dans lequel les seules
interactions étaient les collisions entre les particules. Ces dernières résultent de l’interaction à courte portée entre les atomes ou les molécules constituant le gaz. La présence de
la force F provient d’un champ extérieur éventuel. On peut néanmoins, utiliser l’équation de Boltzmann dans des situations plus complexes où l’interaction entre les particules
contient à la fois une partie à longue portée et une partie à courte portée. Il faut pour cela
que les portées soient très différentes. Dans ce cas, la partie à longue portée contribue
au premier membre de l’équation de Boltzmann (dans F) par l’intermédiaire du champ
moyen créé par l’ensemble des particules. La partie à courte portée se retrouve dans le
terme de collisions.
12.10 LE THÉORÈME H
L’équation de Boltzmann a la propriété importante de ne pas conserver l’entropie du
système. Au cours de l’évolution de celui-ci, l’entropie augmente jusqu’à atteindre
une valeur constante lorsque l’équilibre statistique est atteint. L’équation de Boltzmann permet donc de décrire l’approche de l’équilibre. Nous allons, dans cette section,
donner quelques indications élémentaires sur ce problème qui est en fait beaucoup
plus complexe qu’il n’y paraît à première vue. En effet, l’entropie est liée à l’information que l’on a sur le système. L’approche de Boltzmann est une description en
terme de fonction de distribution à un corps moyennée sur un volume élémentaire de
l’espace de phase. Une approche complètement microscopique d’un système constitué
de N particules nécessiterait la connaissance de la fonction de distribution à N corps,
f (N)
p (r 1 , p 1 , r 2 , p 2 , . . . , r N , p N , t). On pourrait alors, à partir de cette fonction de distribution, calculer une entropie S (N) . Lorsque l’on décrit le système à l’aide d’une fonction de
distribution à une particule, f (1)
p (r 1 , p 1 , t), on néglige les corrélations entre les particules.
Cette approximation, qui par ailleurs peut être tout à fait justifiée pour un gaz dilué, se
traduit par une perte d’information, donc une augmentation d’entropie qui n’a bien entendu pas de sens physique. Bien sûr, s’il n’existe pas de corrélation entre les particules
(gaz parfait), l’entropie du système calculée à partir de f (1)
p (r 1 , p 1 , t) est correcte.
De plus, la fonction de distribution que nous avons utilisé dans l’équation de Boltzmann n’est pas f (1)
p (r 1 , p 1 , t) mais f p (r, p,t) (ou f (r, v,t)) qui est obtenue en moyennant
f (1)
p (r 1 , p 1 , t) sur un élément de volume dr dp macroscopiquement petit mais microscopiquement grand de l’espace de phase. On peut calculer une entropie à partir de f p (r, p,t),
mais celle-ci est bien entendu supérieure à celle déduite f (1)
p (r 1 , p 1 , t) qui contient plus
d’informations que f p (r, p,t). L’entropie associée à f p (r, p,t) est l’entropie de Boltzmann
que nous noterons S B . Remarquons enfin que l’entropie macroscopique que l’on calcule
en ne considérant que les variables macroscopiques, est encore supérieure à l’entropie
de Boltzmann car l’information sur le système est encore plus pauvre. Ces quelques
remarques nous montrent la difficulté du problème.
Nous avons vu, dans la section 3.3.2, que l’entropie d’un système était donnée par
l’expression S = −k
i P i Log P i . On peut généraliser cette expression en définissant
Physique statistique
Nous avons obtenu l’équation de Boltzmann pour un gaz dilué dans lequel les seules
interactions étaient les collisions entre les particules. Ces dernières résultent de l’interaction à courte portée entre les atomes ou les molécules constituant le gaz. La présence de
la force F provient d’un champ extérieur éventuel. On peut néanmoins, utiliser l’équation de Boltzmann dans des situations plus complexes où l’interaction entre les particules
contient à la fois une partie à longue portée et une partie à courte portée. Il faut pour cela
que les portées soient très différentes. Dans ce cas, la partie à longue portée contribue
au premier membre de l’équation de Boltzmann (dans F) par l’intermédiaire du champ
moyen créé par l’ensemble des particules. La partie à courte portée se retrouve dans le
terme de collisions.
12.10 LE THÉORÈME H
L’équation de Boltzmann a la propriété importante de ne pas conserver l’entropie du
système. Au cours de l’évolution de celui-ci, l’entropie augmente jusqu’à atteindre
une valeur constante lorsque l’équilibre statistique est atteint. L’équation de Boltzmann permet donc de décrire l’approche de l’équilibre. Nous allons, dans cette section,
donner quelques indications élémentaires sur ce problème qui est en fait beaucoup
plus complexe qu’il n’y paraît à première vue. En effet, l’entropie est liée à l’information que l’on a sur le système. L’approche de Boltzmann est une description en
terme de fonction de distribution à un corps moyennée sur un volume élémentaire de
l’espace de phase. Une approche complètement microscopique d’un système constitué
de N particules nécessiterait la connaissance de la fonction de distribution à N corps,
f (N)
p (r 1 , p 1 , r 2 , p 2 , . . . , r N , p N , t). On pourrait alors, à partir de cette fonction de distribution, calculer une entropie S (N) . Lorsque l’on décrit le système à l’aide d’une fonction de
distribution à une particule, f (1)
p (r 1 , p 1 , t), on néglige les corrélations entre les particules.
Cette approximation, qui par ailleurs peut être tout à fait justifiée pour un gaz dilué, se
traduit par une perte d’information, donc une augmentation d’entropie qui n’a bien entendu pas de sens physique. Bien sûr, s’il n’existe pas de corrélation entre les particules
(gaz parfait), l’entropie du système calculée à partir de f (1)
p (r 1 , p 1 , t) est correcte.
De plus, la fonction de distribution que nous avons utilisé dans l’équation de Boltzmann n’est pas f (1)
p (r 1 , p 1 , t) mais f p (r, p,t) (ou f (r, v,t)) qui est obtenue en moyennant
f (1)
p (r 1 , p 1 , t) sur un élément de volume dr dp macroscopiquement petit mais microscopiquement grand de l’espace de phase. On peut calculer une entropie à partir de f p (r, p,t),
mais celle-ci est bien entendu supérieure à celle déduite f (1)
p (r 1 , p 1 , t) qui contient plus
d’informations que f p (r, p,t). L’entropie associée à f p (r, p,t) est l’entropie de Boltzmann
que nous noterons S B . Remarquons enfin que l’entropie macroscopique que l’on calcule
en ne considérant que les variables macroscopiques, est encore supérieure à l’entropie
de Boltzmann car l’information sur le système est encore plus pauvre. Ces quelques
remarques nous montrent la difficulté du problème.
Nous avons vu, dans la section 3.3.2, que l’entropie d’un système était donnée par
l’expression S = −k
i P i Log P i . On peut généraliser cette expression en définissant