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Physique statistique
où le temps de relaxation t est un paramètre que nous considérerons comme constant. On suppose, de plus, que la force F ne dépend pas des vitesses. Nous allons nous intéresser au cas où f
est peu différent de f 0 , la distribution d’équilibre.
1- Exprimer f en fonction de f 0 sous forme d’un développement au premier ordre.
2- Expliquer pourquoi la solution obtenue n’est pas réaliste. Comment faire pour l’améliorer ?
3- Nous allons chercher, dans l’approximation de relaxation, à quelle équation obéit n(r, v, t), le
nombre moyen de particules par unité de volume. On supposera pour ce faire que
f dv =
f 0 dv
(ceci peut être montré explicitement (cf. section 13.1) et reste valable tant que les collisions ne
conduisent pas à la création ou à l’annihilation de particules). Montrer que l’on obtient l’équation
de continuité suivante :
∂n
∂t
= −
∂
∂r
(n ) ⇐⇒
∂n
∂t
+ div (n ) = 0
4- Malheureusement, il faut connaître f pour calculer . Nous allons utiliser le développement
de f trouvé dans la question 1 pour calculer au premier ordre en t. Évaluer les différents
termes. On définira les coefficients de diffusion suivant :
D a =
v
2
a t
∂f 0
∂n
dv =
∂
∂n
v
2
a tf 0 dv
et les coefficients de dérive :
G a = −
1
n
v a t
∂f 0
∂v a
dv
Comme f 0 ne dépend que du module de la vitesse et que t est une constante, on a D x = D y = D z = D
et G x = G y = G z = G. Montrer que n satisfait à l’équation de diffusion suivante :
∂n
∂t
= − div
GnF − D
∂n
∂r
5- Pour un gaz d’électrons placé dans un champ électrique E, on définit le coefficient de mobilité
m comme m = Ge, où e est la charge de l’électron. Donner l’expression de l’équation de diffusion
dans ce cas particulier.