12 • L’équation de Boltzmann
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montrent qu’un problème où 2 particules interagissent par un potentiel qui ne dépend
que de leur distance relative peut être ramené à celui d’une particule de masse fictive m
dans ce même potentiel. Le mouvement du centre de masse peut, quant à lui, être éliminé
en choisissant le référentiel dans lequel la somme des impulsions est nulle ; c’est celui
du centre de masse. Pour les collisions de 2 particules qui nous intéressent, la physique
du problème ne dépendra pas de la vitesse V du centre de masse associé à celles-ci mais
seulement de leur vitesse relative v rel .
12.8 COLLISIONS DE DEUX PARTICULES
Nous avons supposé jusqu’ici qu’il n’y avait pas de collisions entre les particules. Même
si celles-ci sont rares, elles existent et sont responsables de l’évolution irréversible d’un
système de particules vers l’équilibre. Nous allons maintenant voir comment ces collisions, peu nombreuses, modifient l’équation de Boltzmann sans collision que nous avons
obtenue plus haut. Pour cela, considérons la collision de deux particules dont les vitesses
initiales sont v 1 et v 2 . Après le choc, leurs vitesses deviennent respectivement v
1 et v
2 .
Soit s (v 1 , v 2 → v
1 , v
2 ) la section efficace associée à la collision. Nous supposerons que
la durée du choc est extrêmement courte et que la collision est élastique. Les particules
sont supposées ponctuelles et sans structure (il n’y a donc pas de possibilité d’exciter les
états internes des particules et donc d’avoir des processus inélastiques).
En analogie avec (9), si F est le flux incident et N le nombre de particules cibles,
le nombre de particules diffusées par unité de temps dans l’élément de volume dv
1 dv
2
centré autour de v
1 et v
2 est égal à :
d 6 n
dv
1 dv
2
= s
(v 1 , v 2 → v
1 , v
2 ) N F
(63)
Avant la collision, la vitesse du centre de masse vaut V et la vitesse relative des deux
particules est égale à v rel . Après la collisions, elles deviennent respectivement V et v
rel .
La conservation de l’énergie et de l’impulsion implique que :
V
= V
et
|v
rel | = |v rel | ou v
rel = v rel
(64)
Dans une collision élastique, on a donc un changement de direction de la vitesse relative
des deux particules mais v rel et V restent inchangés. On peut montrer (cf. exercice 6), en
calculant le jacobien associé aux différents changements de variables que :
dv 1 dv 2 = dv rel dV = dv
rel dV
= dv
1 dv
2
(65)
La section efficace s est nulle lorsque les conditions (64) ne sont pas satisfaites. Compte
tenu de ce que nous avons dit dans la section 12.3, cela peut se traduire en introduisant
un produit de distributions de Dirac : d(V − V
)d(v
rel − v rel ). Le vecteur v
rel peut être
exprimé en coordonnées sphériques v
rel ≡ (v
rel , u , f ). Les variables (u , f ) définissent
une direction. L’élément de volume qui leur est associé est l’angle solide élémentaire
dV = sin u du df . La collision entre les deux particules a pour effet de changer leur
direction relative (dV → dV ). Par conséquent, il est commode d’introduire la section
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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montrent qu’un problème où 2 particules interagissent par un potentiel qui ne dépend
que de leur distance relative peut être ramené à celui d’une particule de masse fictive m
dans ce même potentiel. Le mouvement du centre de masse peut, quant à lui, être éliminé
en choisissant le référentiel dans lequel la somme des impulsions est nulle ; c’est celui
du centre de masse. Pour les collisions de 2 particules qui nous intéressent, la physique
du problème ne dépendra pas de la vitesse V du centre de masse associé à celles-ci mais
seulement de leur vitesse relative v rel .
12.8 COLLISIONS DE DEUX PARTICULES
Nous avons supposé jusqu’ici qu’il n’y avait pas de collisions entre les particules. Même
si celles-ci sont rares, elles existent et sont responsables de l’évolution irréversible d’un
système de particules vers l’équilibre. Nous allons maintenant voir comment ces collisions, peu nombreuses, modifient l’équation de Boltzmann sans collision que nous avons
obtenue plus haut. Pour cela, considérons la collision de deux particules dont les vitesses
initiales sont v 1 et v 2 . Après le choc, leurs vitesses deviennent respectivement v
1 et v
2 .
Soit s (v 1 , v 2 → v
1 , v
2 ) la section efficace associée à la collision. Nous supposerons que
la durée du choc est extrêmement courte et que la collision est élastique. Les particules
sont supposées ponctuelles et sans structure (il n’y a donc pas de possibilité d’exciter les
états internes des particules et donc d’avoir des processus inélastiques).
En analogie avec (9), si F est le flux incident et N le nombre de particules cibles,
le nombre de particules diffusées par unité de temps dans l’élément de volume dv
1 dv
2
centré autour de v
1 et v
2 est égal à :
d 6 n
dv
1 dv
2
= s
(v 1 , v 2 → v
1 , v
2 ) N F
(63)
Avant la collision, la vitesse du centre de masse vaut V et la vitesse relative des deux
particules est égale à v rel . Après la collisions, elles deviennent respectivement V et v
rel .
La conservation de l’énergie et de l’impulsion implique que :
V
= V
et
|v
rel | = |v rel | ou v
rel = v rel
(64)
Dans une collision élastique, on a donc un changement de direction de la vitesse relative
des deux particules mais v rel et V restent inchangés. On peut montrer (cf. exercice 6), en
calculant le jacobien associé aux différents changements de variables que :
dv 1 dv 2 = dv rel dV = dv
rel dV
= dv
1 dv
2
(65)
La section efficace s est nulle lorsque les conditions (64) ne sont pas satisfaites. Compte
tenu de ce que nous avons dit dans la section 12.3, cela peut se traduire en introduisant
un produit de distributions de Dirac : d(V − V
)d(v
rel − v rel ). Le vecteur v
rel peut être
exprimé en coordonnées sphériques v
rel ≡ (v
rel , u , f ). Les variables (u , f ) définissent
une direction. L’élément de volume qui leur est associé est l’angle solide élémentaire
dV = sin u du df . La collision entre les deux particules a pour effet de changer leur
direction relative (dV → dV ). Par conséquent, il est commode d’introduire la section
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.