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Physique statistique
Ce système a 6 degrés de liberté, 3 associés à chacune des particules. Leur mouvement
dépend du choix du référentiel. Il en existe un qui est particulièrement important car il
permet de simplifier le problème. C’est le référentiel du centre de masse dans lequel la
somme des impulsions des 2 particules est nulle. La position du centre de masse des 2
particules, R, est donnée par :
(m 1 + m 2 )R = m 1 r 1 + m 2 r 2 =⇒ R =
m 1
m 1 + m 2
r 1 +
m 2
m 1 + m 2
r 2
(56)
Effectuons le changement de variables suivant : remplaçons le couple (r 1 , r 2 ) par (R, r),
où r est le vecteur relatif entre les deux particules :
r = r 1 − r 2
(57)
Avec cette transformation, nous passons bien d’un ensemble de 6 variables (r 1 , r 2 ) à
6 nouvelles variables (R, r) puisque chaque vecteur est défini par 3 composantes. On
déduit facilement de (56) et (57) les formules de transformation inverses :
r 1 = R +
m 2
m 1 + m 2
r et r 2 = R −
m 1
m 1 + m 2
r
(58)
Il est commode, pour la suite, d’introduire deux quantités :
M = m 1 + m 2 et m =
m 1 m 2
m 1 + m 2
(59)
La première, M, est la masse totale des 2 particules. La seconde, m, est appelée masse
réduite. C’est la moyenne harmonique des masses m 1 et m 2 (1/m = 1/m 1 + 1/m 2 ). On
déduit de (58) que les vitesses v 1 = ˙
r 1 et v 2 = ˙
r 2 sont reliées à la vitesse du centre de
masse V = ˙
R et à la vitesse relative v rel = ˙
r par :
v 1 = V +
m 2
m 1 + m 2
v rel et v 2 = V −
m 1
m 1 + m 2
v rel
(60)
Ceci permet, à partir de (55), de calculer l’énergie totale avec les nouvelles coordonnées :
E =
1
2
m 1
V +
m 2
m 1 + m 2
v rel
2
+
1
2
m 2
V −
m 1
m 1 + m 2
v rel
2
+ U(r)
=
1
2
MV
2 +
1
2
mv
2
rel + U(r)
(61)
L’impulsion du centre de masse, P, et l’impulsion relative, p rel , sont respectivement définies par P = MV et p rel = mv rel . Avec ces définitions, l’énergie totale s’écrit à présent :
E =
P 2
2M
+
p 2
rel
2m
+ U(r)
(62)
Le passage des variables (r 1 , r 2 ) aux variables (r, R) permet de séparer l’énergie du
système en deux contributions indépendantes. La première, P 2 /2M, représente le mouvement d’entraînement du centre de masse. C’est un mouvement rectiligne uniforme qui
ne présente pas d’intérêt physique particulier. La seconde contribution, p 2 /2m+U(r), représente l’énergie d’une particule fictive de masse m dans le potentiel U(r). C’est l’énergie relative des deux particules. C’est elle qui nous intéresse car elle contient toute la
physique du problème. Les transformations de coordonnées que nous avons effectuées
Physique statistique
Ce système a 6 degrés de liberté, 3 associés à chacune des particules. Leur mouvement
dépend du choix du référentiel. Il en existe un qui est particulièrement important car il
permet de simplifier le problème. C’est le référentiel du centre de masse dans lequel la
somme des impulsions des 2 particules est nulle. La position du centre de masse des 2
particules, R, est donnée par :
(m 1 + m 2 )R = m 1 r 1 + m 2 r 2 =⇒ R =
m 1
m 1 + m 2
r 1 +
m 2
m 1 + m 2
r 2
(56)
Effectuons le changement de variables suivant : remplaçons le couple (r 1 , r 2 ) par (R, r),
où r est le vecteur relatif entre les deux particules :
r = r 1 − r 2
(57)
Avec cette transformation, nous passons bien d’un ensemble de 6 variables (r 1 , r 2 ) à
6 nouvelles variables (R, r) puisque chaque vecteur est défini par 3 composantes. On
déduit facilement de (56) et (57) les formules de transformation inverses :
r 1 = R +
m 2
m 1 + m 2
r et r 2 = R −
m 1
m 1 + m 2
r
(58)
Il est commode, pour la suite, d’introduire deux quantités :
M = m 1 + m 2 et m =
m 1 m 2
m 1 + m 2
(59)
La première, M, est la masse totale des 2 particules. La seconde, m, est appelée masse
réduite. C’est la moyenne harmonique des masses m 1 et m 2 (1/m = 1/m 1 + 1/m 2 ). On
déduit de (58) que les vitesses v 1 = ˙
r 1 et v 2 = ˙
r 2 sont reliées à la vitesse du centre de
masse V = ˙
R et à la vitesse relative v rel = ˙
r par :
v 1 = V +
m 2
m 1 + m 2
v rel et v 2 = V −
m 1
m 1 + m 2
v rel
(60)
Ceci permet, à partir de (55), de calculer l’énergie totale avec les nouvelles coordonnées :
E =
1
2
m 1
V +
m 2
m 1 + m 2
v rel
2
+
1
2
m 2
V −
m 1
m 1 + m 2
v rel
2
+ U(r)
=
1
2
MV
2 +
1
2
mv
2
rel + U(r)
(61)
L’impulsion du centre de masse, P, et l’impulsion relative, p rel , sont respectivement définies par P = MV et p rel = mv rel . Avec ces définitions, l’énergie totale s’écrit à présent :
E =
P 2
2M
+
p 2
rel
2m
+ U(r)
(62)
Le passage des variables (r 1 , r 2 ) aux variables (r, R) permet de séparer l’énergie du
système en deux contributions indépendantes. La première, P 2 /2M, représente le mouvement d’entraînement du centre de masse. C’est un mouvement rectiligne uniforme qui
ne présente pas d’intérêt physique particulier. La seconde contribution, p 2 /2m+U(r), représente l’énergie d’une particule fictive de masse m dans le potentiel U(r). C’est l’énergie relative des deux particules. C’est elle qui nous intéresse car elle contient toute la
physique du problème. Les transformations de coordonnées que nous avons effectuées