12 • L’équation de Boltzmann
255
C’est l’équation de Boltzmann sans collision. C’est une équation linéaire aux dérivées
partielles. Elle est linéaire car si a, b sont deux constantes et f p , f
p deux fonctions de
distribution satisfaisant à l’équation de Boltzmann sans collision, on a :
D(af p + bf
p ) = aDf p + bDf
p = 0
(50)
Dans la suite de ce chapitre, nous allons prendre comme variables indépendantes la
position r et la vitesse v plutôt que la position r et l’impulsion p. La relation entre
p et v est très simple dans notre cas (p = mv). La raison de ce changement provient
de ce que, pour évaluer l’effet des collisions entre particules, nous ferons beaucoup de
raisonnements basés sur un décompte de particules et qu’il est souvent plus commode
de les faire en utilisant les vecteurs vitesses plutôt que les vecteurs impulsions. L’espace
associé (vitesse–position) est aussi de dimension 6 (il est parfois appelé espace m) et
nous désignerons par f (r, v, t) la fonction de distribution correspondante. Le passage
de l’une à l’autre formulation ne présente pas de difficulté particulière. Il se traduit par
l’apparition de la masse des particules en différents endroits. Pour illustrer ceci sur un
exemple, considérons le nombre total N de particules contenues dans le système. En
l’exprimant selon les deux formulations, on obtient :
N =
f p (r, p, t) dr dp =
f (r, v, t) dr dv
(51)
Si nous faisons le changement de variable p =mv, nous avons :
f p (r, p, t) dr dp =
f (r, v =
p
m
, t) dr
dp
m 3
(52)
Le facteur m 3 provient de ce que l’intégrale sur les vitesses est triple (directions v x , v y et
v z ). On en déduit donc que :
f p (r, p, t) =
f (r, v =
p
m , t)
m 3
(53)
Avec ces nouvelles variables, l’équation de Botzmann sans terme de collisions s’écrit :
Df (r, v, t) =
∂f (r, v, t)
∂t
+ v ·
∂f (r, v, t)
∂r
+
F
m
·
∂f (r, v, t)
∂v
= 0
(54)
12.7 LE PROBLÈME À 2 CORPS
La collision de deux particules est un problème à 2 corps que l’on peut simplifier en se
plaçant dans le référentiel adéquat. C’est ce que nous allons maintenant faire, dans le
cadre de la mécanique classique. Nous allons considérer deux particules de masse m 1
et m 2 , situées en r 1 et r 2 , dont le potentiel d’interaction U ne dépend que du vecteur
relatif r = r 1 − r 2 . Nous désignerons leurs vitesses respectivement par v 1 et v 2 . Leurs
impulsions sont p 1 = m 1 v 1 et p 2 = m 2 v 2 . L’énergie totale du système est :
E =
1
2
m 1 v
2
1 +
1
2
m 2 v
2
2 + U(r 1 − r 2 ) =
p 2
1
2m 1
+
p 2
2
2m 2
+ U(r)
(55)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
255
C’est l’équation de Boltzmann sans collision. C’est une équation linéaire aux dérivées
partielles. Elle est linéaire car si a, b sont deux constantes et f p , f
p deux fonctions de
distribution satisfaisant à l’équation de Boltzmann sans collision, on a :
D(af p + bf
p ) = aDf p + bDf
p = 0
(50)
Dans la suite de ce chapitre, nous allons prendre comme variables indépendantes la
position r et la vitesse v plutôt que la position r et l’impulsion p. La relation entre
p et v est très simple dans notre cas (p = mv). La raison de ce changement provient
de ce que, pour évaluer l’effet des collisions entre particules, nous ferons beaucoup de
raisonnements basés sur un décompte de particules et qu’il est souvent plus commode
de les faire en utilisant les vecteurs vitesses plutôt que les vecteurs impulsions. L’espace
associé (vitesse–position) est aussi de dimension 6 (il est parfois appelé espace m) et
nous désignerons par f (r, v, t) la fonction de distribution correspondante. Le passage
de l’une à l’autre formulation ne présente pas de difficulté particulière. Il se traduit par
l’apparition de la masse des particules en différents endroits. Pour illustrer ceci sur un
exemple, considérons le nombre total N de particules contenues dans le système. En
l’exprimant selon les deux formulations, on obtient :
N =
f p (r, p, t) dr dp =
f (r, v, t) dr dv
(51)
Si nous faisons le changement de variable p =mv, nous avons :
f p (r, p, t) dr dp =
f (r, v =
p
m
, t) dr
dp
m 3
(52)
Le facteur m 3 provient de ce que l’intégrale sur les vitesses est triple (directions v x , v y et
v z ). On en déduit donc que :
f p (r, p, t) =
f (r, v =
p
m , t)
m 3
(53)
Avec ces nouvelles variables, l’équation de Botzmann sans terme de collisions s’écrit :
Df (r, v, t) =
∂f (r, v, t)
∂t
+ v ·
∂f (r, v, t)
∂r
+
F
m
·
∂f (r, v, t)
∂v
= 0
(54)
12.7 LE PROBLÈME À 2 CORPS
La collision de deux particules est un problème à 2 corps que l’on peut simplifier en se
plaçant dans le référentiel adéquat. C’est ce que nous allons maintenant faire, dans le
cadre de la mécanique classique. Nous allons considérer deux particules de masse m 1
et m 2 , situées en r 1 et r 2 , dont le potentiel d’interaction U ne dépend que du vecteur
relatif r = r 1 − r 2 . Nous désignerons leurs vitesses respectivement par v 1 et v 2 . Leurs
impulsions sont p 1 = m 1 v 1 et p 2 = m 2 v 2 . L’énergie totale du système est :
E =
1
2
m 1 v
2
1 +
1
2
m 2 v
2
2 + U(r 1 − r 2 ) =
p 2
1
2m 1
+
p 2
2
2m 2
+ U(r)
(55)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.