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Physique statistique
Remarque. Notons que la relation (41) n’est valable que dans l’espace de phase. Considèrons, par exemple, l’élément de volume dr. L’impulsion p des particules contenues
dans dr peut être quelconque. Au temps t + dt, les particules situées initialement dans
dr vont se répartir dans un élément de volume dr
qui non seulement contient les particules initialement dans dr mais aussi d’autres particules qui étaient dans des éléments
de volume voisins ou même dans dr
. L’élément de volume dr
va rapidement devenir
macroscopique et contient des particules qui n’étaient pas initialement dans dr. La raison
pour laquelle la relation (41) est satisfaite provient de ce que dr dp contient des particules
ayant toutes la même valeur de p à dp près. Par conséquent, elles se déplacent toutes à
la même vitesse dans la même direction et se retrouvent dans l’élément de volume dr
infinitésimal.
Considérons, au temps t, l’élément de volume dr dp de l’espace des phases centré en
r et p. Il contient en moyenne f p (r, p, t) dr dp particules. Au temps t = t + dt, il s’est
déplacé en dr dp centré en r et p . La conservation du nombre de particules implique
la relation :
f p (r
, p
, t
) dr
dp
= f p (r, p, t) dr dp
(42)
ce qui, compte tenu de (41), conduit à :
f p (r
, p
, t
) = f p (r, p, t)
(43)
ou :
f p (r
, p
, t) − f p (r, p, t) = f p (r + dr, p + dp, t + dt) − f p (r, p, t) = 0
(44)
Un développement autour du point (r, p) et la simplification de l’expression conduit à :
∂f p (r, p, t)
∂t
dt +
∂f p (r, p, t)
∂r
. dr+
∂f p (r, p, t)
∂p
. dp = 0
(45)
Dans l’expression ci-dessus, il faut insister sur le fait que
∂f p (r, p, t)
∂r
ou
∂f p (r, p, t)
∂p
sont
des vecteurs. Ils ont donc 3 composantes. Cette équation s’écrit explicitement :
∂f p
∂t
dt +
∂f p
∂x
dx +
∂f p
∂y
dy +
∂f p
∂z
dz +
∂f p
∂p x
dp x +
∂f p
∂p y
dp y +
∂f p
∂p z
dp z = 0
(46)
Après division par dt, l’équation (45) peut s’écrire :
Df p (r, p, t) =
∂f p (r, p, t)
∂t
+ ˙
r ·
∂f p (r, p, t)
∂r
+ ˙
p ·
∂f p (r, p, t)
∂p
= 0
(47)
Dans laquelle nous avons introduit les notations suivantes :
˙
r =
dr
dt
= v , ˙
p =
dp
dt
et D =
∂
∂t
+ ˙
r.
∂
∂r
+ ˙
p.
∂
∂p
(48)
Sachant que ˙
p = F (équation 37), on peut écrire l’équation (47) comme :
Df p (r, p, t) =
∂f p (r, p, t)
∂t
+
p
m
·
∂f p (r, p, t)
∂r
+ F ·
∂f p (r, p, t)
∂p
= 0
(49)
Physique statistique
Remarque. Notons que la relation (41) n’est valable que dans l’espace de phase. Considèrons, par exemple, l’élément de volume dr. L’impulsion p des particules contenues
dans dr peut être quelconque. Au temps t + dt, les particules situées initialement dans
dr vont se répartir dans un élément de volume dr
qui non seulement contient les particules initialement dans dr mais aussi d’autres particules qui étaient dans des éléments
de volume voisins ou même dans dr
. L’élément de volume dr
va rapidement devenir
macroscopique et contient des particules qui n’étaient pas initialement dans dr. La raison
pour laquelle la relation (41) est satisfaite provient de ce que dr dp contient des particules
ayant toutes la même valeur de p à dp près. Par conséquent, elles se déplacent toutes à
la même vitesse dans la même direction et se retrouvent dans l’élément de volume dr
infinitésimal.
Considérons, au temps t, l’élément de volume dr dp de l’espace des phases centré en
r et p. Il contient en moyenne f p (r, p, t) dr dp particules. Au temps t = t + dt, il s’est
déplacé en dr dp centré en r et p . La conservation du nombre de particules implique
la relation :
f p (r
, p
, t
) dr
dp
= f p (r, p, t) dr dp
(42)
ce qui, compte tenu de (41), conduit à :
f p (r
, p
, t
) = f p (r, p, t)
(43)
ou :
f p (r
, p
, t) − f p (r, p, t) = f p (r + dr, p + dp, t + dt) − f p (r, p, t) = 0
(44)
Un développement autour du point (r, p) et la simplification de l’expression conduit à :
∂f p (r, p, t)
∂t
dt +
∂f p (r, p, t)
∂r
. dr+
∂f p (r, p, t)
∂p
. dp = 0
(45)
Dans l’expression ci-dessus, il faut insister sur le fait que
∂f p (r, p, t)
∂r
ou
∂f p (r, p, t)
∂p
sont
des vecteurs. Ils ont donc 3 composantes. Cette équation s’écrit explicitement :
∂f p
∂t
dt +
∂f p
∂x
dx +
∂f p
∂y
dy +
∂f p
∂z
dz +
∂f p
∂p x
dp x +
∂f p
∂p y
dp y +
∂f p
∂p z
dp z = 0
(46)
Après division par dt, l’équation (45) peut s’écrire :
Df p (r, p, t) =
∂f p (r, p, t)
∂t
+ ˙
r ·
∂f p (r, p, t)
∂r
+ ˙
p ·
∂f p (r, p, t)
∂p
= 0
(47)
Dans laquelle nous avons introduit les notations suivantes :
˙
r =
dr
dt
= v , ˙
p =
dp
dt
et D =
∂
∂t
+ ˙
r.
∂
∂r
+ ˙
p.
∂
∂p
(48)
Sachant que ˙
p = F (équation 37), on peut écrire l’équation (47) comme :
Df p (r, p, t) =
∂f p (r, p, t)
∂t
+
p
m
·
∂f p (r, p, t)
∂r
+ F ·
∂f p (r, p, t)
∂p
= 0
(49)