12 • L’équation de Boltzmann
253
La vitesse hydrodynamique u(r, t) correspond à la vitesse du fluide ou du gaz au point r
et au temps t. C’est celle que l’on observe lorsque l’on dépose un bouchon à la surface
d’un rivière. Les molécules qui composent le fluide ont elles une vitesse v qui diffère très
notablement de u.
12.6 L’ÉQUATION DE BOLTZMANN SANS COLLISION
Si toute propriété du système peut être calculée à partir de la fonction de distribution
f p (r, p, t), il nous faut connaître l’évolution de celle-ci en fonction du temps. Nous allons, dans le cadre de l’approximation de particules indépendantes, trouver l’équation
à laquelle satisfait f p (r, p, t). Dans une première étape, nous négligerons les collisions
entre particules.
Considérons, au temps t, l’élément de volume dr dp centré en r et p de l’espace de
phase. Il contient en moyenne f p (r, p, t) dr dp particules. Au temps t + dt, ces particules
se sont déplacées sous l’influence du potentiel moyen U(r). En effet, chaque particule
est soumise à une force F = −
∂U(r)
∂r
. L’élément de volume dr dp est devenu dr dp et
il est centré en (r , p ). On déduit r et p des équations du mouvement des particules :
dr
dt
= v =
p
m
=⇒ r = r +
p
m
dt
dp
dt
= F
=⇒ p = p + Fdt
(37)
L’élément de volume dr dp est relié à dr dp par la relation suivante :
dr
dp
= |J| dr dp
(38)
dans laquelle J est le jacobien de la transformation. Compte tenu de (37), il vaut :
J =
∂x
∂x
∂x
∂y
∂x
∂z
∂x
∂px
∂x
∂py
∂x
∂pz
∂y
∂x
∂y
∂y
∂y
∂z
∂y
∂px
∂y
∂py
∂y
∂pz
∂z
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂z
∂px
∂z
∂py
∂z
∂pz
∂p
x
∂x
∂p
x
∂y
∂p
x
∂z
∂p
x
∂px
∂p
x
∂py
∂p
x
∂pz
∂p
y
∂x
∂p
y
∂y
∂p
y
∂z
∂p
y
∂px
∂p
y
∂py
∂p
y
∂pz
∂p
z
∂x
∂p
z
∂y
∂p
z
∂z
∂p
z
∂px
∂p
z
∂py
∂p
z
∂pz
=
1
0
0
dt
m
0 0
0
1
0
0
dt
m
0
0
0
1
0 0
dt
m
∂Fx
∂x dt
0
0
1 0 0
0
∂Fy
∂y dt
0
0 1 0
0
0
∂Fz
∂z dt 0 0 1
(39)
Soit :
J = 1 + O(dt
2 )
(40)
Par conséquent, au second ordre près, J = 1 ce qui implique que :
dr
dp
= dr dp
(41)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.