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Physique statistique
Le nombre moyen de particules par unité de volume n(r, t) au temps t est obtenu en
intégrant f p (r, p, t) dans l’espace des impulsions puisque l’impulsion des particules dans
le volume dr centré autour de r peut être quelconque :
n(r, t) =
f p (r, p, t) dp
(32)
Si l’on intègre n(r, t) sur tout l’espace, on obtient le nombre N de particules (ce dernier
est constant s’il n’y a pas d’échange de particules avec l’extérieur).
N =
n(r, t) dr
(33)
La valeur moyenne au point r et au temps t de toute propriété Q(r, p, t) liée à une particule peut être calculée à partir de la fonction de distribution f p (r, p, t) par :
Q(r, t) = Q(r, p, t) =
Q(r, p, t) f p (r, p, t) dp
f p (r, p, t) dp
=
1
n(r, t)
Q(r, p, t)f p (r, p, t) dp
(34)
La quantité Q(r, p, t) peut être l’énergie cinétique, la quantité de mouvement, ou tout
autre propriété caractéristique d’une particule. Ce peut être un scalaire, un vecteur, ou
une quantité plus complexe. La notation Q(r, t) signifie que la valeur moyenne dépend
de la position r et du temps t. Nous l’avons adopté pour ne pas confondre ce type de
moyenne avec celle prise sur un ensemble de systèmes. Cette notation est utile lorsque
Q ≡ p car p est une variable indépendante alors que la moyenne, obtenue par (34), est
une fonction de r et de t.
Appliquons cette définition à la vitesse v d’une particule. On a :
v(r, t) = u(r, t) =
1
n(r, t)
v f p (r, p, t) dp
(35)
La quantité u(r, t) est la vitesse moyenne du gaz au point r et au temps t. On l’appelle
aussi vitesse hydrodynamique car c’est cette quantité qui entre dans les équations hydrodynamiques du gaz ou d’un fluide. Dans ce dernier cas, l’approximation de particules
indépendantes n’est, bien sûr, pas justifiée mais cette quantité peut être définie. L’écart
entre la vitesse d’une particule et sa valeur moyenne (w = v − u) a la propriété d’avoir
une valeur moyenne nulle ; c’est la vitesse intrinsèque des particules. En effet :
w = v − u = v − u = u − u = 0
(36)
Remarque. L’écart w par rapport à la vitesse moyenne est une quantité importante car
elle est liée au mouvement d’agitation thermique du gaz. C’est elle qui est directement
reliée à la température T. Si nous prenons un gaz en équilibre en l’absence de champ
extérieur u = 0 et w = v. Un mouvement de translation d’ensemble du gaz à la vitesse u
ne change pas sa température ; par contre v = u + w augmente. Ceci explique pourquoi
seul w contribue à la température du gaz et non u.
Physique statistique
Le nombre moyen de particules par unité de volume n(r, t) au temps t est obtenu en
intégrant f p (r, p, t) dans l’espace des impulsions puisque l’impulsion des particules dans
le volume dr centré autour de r peut être quelconque :
n(r, t) =
f p (r, p, t) dp
(32)
Si l’on intègre n(r, t) sur tout l’espace, on obtient le nombre N de particules (ce dernier
est constant s’il n’y a pas d’échange de particules avec l’extérieur).
N =
n(r, t) dr
(33)
La valeur moyenne au point r et au temps t de toute propriété Q(r, p, t) liée à une particule peut être calculée à partir de la fonction de distribution f p (r, p, t) par :
Q(r, t) = Q(r, p, t) =
Q(r, p, t) f p (r, p, t) dp
f p (r, p, t) dp
=
1
n(r, t)
Q(r, p, t)f p (r, p, t) dp
(34)
La quantité Q(r, p, t) peut être l’énergie cinétique, la quantité de mouvement, ou tout
autre propriété caractéristique d’une particule. Ce peut être un scalaire, un vecteur, ou
une quantité plus complexe. La notation Q(r, t) signifie que la valeur moyenne dépend
de la position r et du temps t. Nous l’avons adopté pour ne pas confondre ce type de
moyenne avec celle prise sur un ensemble de systèmes. Cette notation est utile lorsque
Q ≡ p car p est une variable indépendante alors que la moyenne, obtenue par (34), est
une fonction de r et de t.
Appliquons cette définition à la vitesse v d’une particule. On a :
v(r, t) = u(r, t) =
1
n(r, t)
v f p (r, p, t) dp
(35)
La quantité u(r, t) est la vitesse moyenne du gaz au point r et au temps t. On l’appelle
aussi vitesse hydrodynamique car c’est cette quantité qui entre dans les équations hydrodynamiques du gaz ou d’un fluide. Dans ce dernier cas, l’approximation de particules
indépendantes n’est, bien sûr, pas justifiée mais cette quantité peut être définie. L’écart
entre la vitesse d’une particule et sa valeur moyenne (w = v − u) a la propriété d’avoir
une valeur moyenne nulle ; c’est la vitesse intrinsèque des particules. En effet :
w = v − u = v − u = u − u = 0
(36)
Remarque. L’écart w par rapport à la vitesse moyenne est une quantité importante car
elle est liée au mouvement d’agitation thermique du gaz. C’est elle qui est directement
reliée à la température T. Si nous prenons un gaz en équilibre en l’absence de champ
extérieur u = 0 et w = v. Un mouvement de translation d’ensemble du gaz à la vitesse u
ne change pas sa température ; par contre v = u + w augmente. Ceci explique pourquoi
seul w contribue à la température du gaz et non u.