12 • L’équation de Boltzmann
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Dans l’approximation de champ moyen, les particules sont considérées comme indépendantes. Chacune d’entre-elles évolue dans le champ moyen créé par les autres. Le
potentiel moyen ne dépend que de la position r et non des coordonnées de chacune des
particules. Ceci permet de simplifier considérablement le problème, qu’il soit classique
ou quantique : le problème à N corps est ramené à N problèmes à 1 corps. Nous avons vu
le principe de cette réduction dans la section 2.1.3 et ceci est explicité dans l’annexe B1
à propos de la particule libre dans une boîte cubique (dans ce cas le potentiel était nul).
12.5 LA FONCTION DE DISTRIBUTION À UN CORPS
Lorsque les particules sont indépendantes, il suffit, pour décrire complètement le système au niveau classique, de connaître la fonction de distribution à un corps f p (r, p, t)
dans l’espace de phase associé à la particule. Ce dernier est de dimension 6 (3 pour les
positions et 3 pour les vitesses).
Dans ce qui suit, nous allons considérer des volumes infinitésimaux dans l’espace des
positions et dans celui des impulsions. Il convient néanmoins de préciser et d’insister
sur le fait que ceux-ci sont considérés comme infiniment petits au niveau macroscopique mais suffisamment grand au niveau microscopique pour contenir, dans les zones
où f p (r, p, t) est différente de zéro, un nombre appréciable de molécules. La première
condition (petits au niveau macroscopique) permet de les considérer comme des éléments différentiels au sens mathématique. On pourra ainsi conduire toutes les opérations
mathématiques habituelles. La seconde condition assure la continuité de f p (r, p, t) que
l’on n’aurait pas si le volume était trop petit (il pourrait contenir une particule de temps
en temps mais la plupart des cas il n’y aurait rien). Pour des particules ponctuelles, ce
que nous supposerons par la suite, f p (r, p, t) serait une somme de distributions de Dirac
d(r − r i )d(p − p i ). La distribution résultante serait donc fortement discontinue. Un élément de volume grand au niveau microscopique permet de faire un lissage de f p (r, p, t) et
d’obtenir une fonction continue des variables r et p. Il faut noter que ce lissage, obtenu en
prenant une moyenne sur un élément de volume contenant plusieurs particules, conduit à
une certaine perte d’information sur le système, donc à une augmentation non physique
de l’entropie. Signalons enfin que cette hypothèse d’éléments de volume microscopiquement grands permet de considérer que f p (r, p, t) reste constant à l’intérieur ceux-ci.
Pour donner des ordres de grandeur, disons qu’un gaz dans des conditions normales de
température et de pression contient de l’ordre de quelques 10 19 particules par cm 3 . Dans
ce cas, il suffit que l’élément de volume associé à l’espace des positions en contienne
quelques 10 9 pour qu’il satisfasse aux hypothèses énoncées plus haut. Nous voyons
quand même que c’est un nombre très grand (1 milliard de particules !).
La distribution f p (r, p, t) ainsi définie peut être interprétée de la manière suivante :
f p (r, p, t) dr dp représente, à l’instant t, le nombre moyen de particules contenues dans
l’élément de volume de l’espace de phase dr dp = dx dy dz dp x dp y dp z centré en r et p.
La connaissance de f p (r, p, t) permet de calculer toutes les propriétés du système dans
le cadre de l’approximation de particules indépendantes. Examinons ceci de plus près
sur quelques exemples.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Dans l’approximation de champ moyen, les particules sont considérées comme indépendantes. Chacune d’entre-elles évolue dans le champ moyen créé par les autres. Le
potentiel moyen ne dépend que de la position r et non des coordonnées de chacune des
particules. Ceci permet de simplifier considérablement le problème, qu’il soit classique
ou quantique : le problème à N corps est ramené à N problèmes à 1 corps. Nous avons vu
le principe de cette réduction dans la section 2.1.3 et ceci est explicité dans l’annexe B1
à propos de la particule libre dans une boîte cubique (dans ce cas le potentiel était nul).
12.5 LA FONCTION DE DISTRIBUTION À UN CORPS
Lorsque les particules sont indépendantes, il suffit, pour décrire complètement le système au niveau classique, de connaître la fonction de distribution à un corps f p (r, p, t)
dans l’espace de phase associé à la particule. Ce dernier est de dimension 6 (3 pour les
positions et 3 pour les vitesses).
Dans ce qui suit, nous allons considérer des volumes infinitésimaux dans l’espace des
positions et dans celui des impulsions. Il convient néanmoins de préciser et d’insister
sur le fait que ceux-ci sont considérés comme infiniment petits au niveau macroscopique mais suffisamment grand au niveau microscopique pour contenir, dans les zones
où f p (r, p, t) est différente de zéro, un nombre appréciable de molécules. La première
condition (petits au niveau macroscopique) permet de les considérer comme des éléments différentiels au sens mathématique. On pourra ainsi conduire toutes les opérations
mathématiques habituelles. La seconde condition assure la continuité de f p (r, p, t) que
l’on n’aurait pas si le volume était trop petit (il pourrait contenir une particule de temps
en temps mais la plupart des cas il n’y aurait rien). Pour des particules ponctuelles, ce
que nous supposerons par la suite, f p (r, p, t) serait une somme de distributions de Dirac
d(r − r i )d(p − p i ). La distribution résultante serait donc fortement discontinue. Un élément de volume grand au niveau microscopique permet de faire un lissage de f p (r, p, t) et
d’obtenir une fonction continue des variables r et p. Il faut noter que ce lissage, obtenu en
prenant une moyenne sur un élément de volume contenant plusieurs particules, conduit à
une certaine perte d’information sur le système, donc à une augmentation non physique
de l’entropie. Signalons enfin que cette hypothèse d’éléments de volume microscopiquement grands permet de considérer que f p (r, p, t) reste constant à l’intérieur ceux-ci.
Pour donner des ordres de grandeur, disons qu’un gaz dans des conditions normales de
température et de pression contient de l’ordre de quelques 10 19 particules par cm 3 . Dans
ce cas, il suffit que l’élément de volume associé à l’espace des positions en contienne
quelques 10 9 pour qu’il satisfasse aux hypothèses énoncées plus haut. Nous voyons
quand même que c’est un nombre très grand (1 milliard de particules !).
La distribution f p (r, p, t) ainsi définie peut être interprétée de la manière suivante :
f p (r, p, t) dr dp représente, à l’instant t, le nombre moyen de particules contenues dans
l’élément de volume de l’espace de phase dr dp = dx dy dz dp x dp y dp z centré en r et p.
La connaissance de f p (r, p, t) permet de calculer toutes les propriétés du système dans
le cadre de l’approximation de particules indépendantes. Examinons ceci de plus près
sur quelques exemples.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.