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Physique statistique
Lorsque l’on utilise W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ), on pourrait tenir compte de (30) comme
contraintes au problème mais ce n’est pas très commode. Une autre manière de procéder
est d’inclure dans W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) les lois de conservation (30) sous la forme :
W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) ⇒
W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) d(E 1 + E 2 − E 3 − E 4 ) d(p 1 + p 2 − p 3 − p 4 )
(31)
Comme nous l’avons déjà signalé, les lois de conservation ne sont pas rigoureusement
satisfaites par suite des incertitudes de nature quantique. Néanmoins, l’utilisation de la
distribution de Dirac est suffisante dans la plupart des cas. Son énorme avantage est de
simplifier les calculs grâce à ses propriétés mathématiques.
12.4 L’APPROXIMATION DE CHAMP MOYEN
Nous allons nous intéresser à un gaz dilué placé dans un potentiel U(r) qui dépend de
la position r. Ce potentiel peut être extérieur au système (champ de gravitation, par
exemple) ou engendré par l’ensemble des particules en présence. Dans ce dernier cas, il
s’agit souvent d’une approximation des interactions à longue portée entre les particules.
On parle alors d’approximation de champ moyen. Son importance est considérable en
physique lorsque l’on veut traiter un ensemble de particules en interaction (problème dit
à N corps). La notion de champ moyen est illustrée pour les électrons des atomes dans
l’exemple ci-dessous.
Exemple. Soit un atome de numéro atomique Z et de nombre de masse A. Il est constitué d’un
noyau formé de Z protons et de A−Z neutrons ainsi que d’un cortège électronique de Z électrons.
Les électrons sont responsables des propriétés chimiques de l’atome. Un électron situé en r i est
soumis à un potentiel coulombien dont l’expression vaut :
V(R, r 1 , . . . , r Z ) = −
1
4p´ 0
Ze
2
|R − r i |
+
j =i
1
4p´ 0
e
2
|r i − r j |
Le premier terme est l’interaction du noyau de charge Ze situé en R avec l’électron de charge
−e (´ 0 est la permittivité du vide). Le second terme est la somme des interactions avec tous les
autres électrons situés en r j (j = 1 . . . , j − 1, j + 1, . . . Z).
Dans le cas d’un seul électron (atome d’hydrogène ou ion hydrogénoï de), le problème peut
être résolu analytiquement (cf. section 2.1.1) et conduit à une séquence de niveaux que nous avons
déjà présentée à cette occasion. Ce qui est par contre étonnant, c’est le fait que cette séquence
est valable pour la plupart des atomes. Les niveaux d’énergie ne sont bien entendu pas ceux que
l’on obtiendrait pour l’atome d’hydrogène, mais leur succession (1s, 2s, 2p, . . .) est la même.
Or, pour des atomes complexes, la contribution du terme de répulsion coulombienne entre les
électrons est loin d’être négligeable et on devrait s’attendre à des bouleversements importants
dans la succession des niveaux d’énergie. En fait, l’expérience montre qu’il n’en est rien. Ceci
résulte du fait que l’approche de champ moyen est une bonne approximation. Une des raisons
provient du fait que les électrons sont des fermions. Par conséquent, ils ont tendance à « s’éviter »
et cela minimise le terme de répulsion des électrons.
Physique statistique
Lorsque l’on utilise W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ), on pourrait tenir compte de (30) comme
contraintes au problème mais ce n’est pas très commode. Une autre manière de procéder
est d’inclure dans W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) les lois de conservation (30) sous la forme :
W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) ⇒
W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) d(E 1 + E 2 − E 3 − E 4 ) d(p 1 + p 2 − p 3 − p 4 )
(31)
Comme nous l’avons déjà signalé, les lois de conservation ne sont pas rigoureusement
satisfaites par suite des incertitudes de nature quantique. Néanmoins, l’utilisation de la
distribution de Dirac est suffisante dans la plupart des cas. Son énorme avantage est de
simplifier les calculs grâce à ses propriétés mathématiques.
12.4 L’APPROXIMATION DE CHAMP MOYEN
Nous allons nous intéresser à un gaz dilué placé dans un potentiel U(r) qui dépend de
la position r. Ce potentiel peut être extérieur au système (champ de gravitation, par
exemple) ou engendré par l’ensemble des particules en présence. Dans ce dernier cas, il
s’agit souvent d’une approximation des interactions à longue portée entre les particules.
On parle alors d’approximation de champ moyen. Son importance est considérable en
physique lorsque l’on veut traiter un ensemble de particules en interaction (problème dit
à N corps). La notion de champ moyen est illustrée pour les électrons des atomes dans
l’exemple ci-dessous.
Exemple. Soit un atome de numéro atomique Z et de nombre de masse A. Il est constitué d’un
noyau formé de Z protons et de A−Z neutrons ainsi que d’un cortège électronique de Z électrons.
Les électrons sont responsables des propriétés chimiques de l’atome. Un électron situé en r i est
soumis à un potentiel coulombien dont l’expression vaut :
V(R, r 1 , . . . , r Z ) = −
1
4p´ 0
Ze
2
|R − r i |
+
j =i
1
4p´ 0
e
2
|r i − r j |
Le premier terme est l’interaction du noyau de charge Ze situé en R avec l’électron de charge
−e (´ 0 est la permittivité du vide). Le second terme est la somme des interactions avec tous les
autres électrons situés en r j (j = 1 . . . , j − 1, j + 1, . . . Z).
Dans le cas d’un seul électron (atome d’hydrogène ou ion hydrogénoï de), le problème peut
être résolu analytiquement (cf. section 2.1.1) et conduit à une séquence de niveaux que nous avons
déjà présentée à cette occasion. Ce qui est par contre étonnant, c’est le fait que cette séquence
est valable pour la plupart des atomes. Les niveaux d’énergie ne sont bien entendu pas ceux que
l’on obtiendrait pour l’atome d’hydrogène, mais leur succession (1s, 2s, 2p, . . .) est la même.
Or, pour des atomes complexes, la contribution du terme de répulsion coulombienne entre les
électrons est loin d’être négligeable et on devrait s’attendre à des bouleversements importants
dans la succession des niveaux d’énergie. En fait, l’expérience montre qu’il n’en est rien. Ceci
résulte du fait que l’approche de champ moyen est une bonne approximation. Une des raisons
provient du fait que les électrons sont des fermions. Par conséquent, ils ont tendance à « s’éviter »
et cela minimise le terme de répulsion des électrons.