12 • L’équation de Boltzmann
249
La généralisation à 3 dimensions de la distribution de Dirac est immédiate en coordonnées cartésiennes :
d(r − r 0 ) = d(x − x 0 ) d(y − y 0 ) d(z − z 0 )
(24)
et l’on a :
d(r − r 0 ) f (r) dr = f (r 0 )
(25)
L’élément de volume vaut dr = dx dy dz. En coordonnées sphériques, il faut faire plus
attention car ce sont des coordonnées curvilignes orthogonales et :
d(r − r 0 ) =
1
r 2 sin u
d(r − r 0 ) d(u − u 0 ) d(f − f 0 )
(26)
L’élément de volume est alors : dr = r 2 sin u dr du df.
L’expression suivante est souvent utilisée dans les calculs mettant en jeu la distribution
de Dirac :
d(x − x 0 ) =
1
2p
+∞
−∞
e ik(x − x 0 ) dk
(27)
Dont la généralisation à 3 dimensions est :
d(r − r 0 ) =
1
(2p) 3
e ik(r − r 0 ) dk
(28)
Un des intérêt de la distribution de Dirac est de pouvoir être utilisée lorsque l’on
considère une variable aléatoire continue, x, qui ne peut prendre qu’une valeur bien
déterminée, x 0 . La distribution de probabilité P(x) associée doit être normalisée et seule
la distribution de Dirac satisfait à cette condition. Donc :
P(x) = d(x − x 0 ) et
+∞
−∞
P(x) dx = 1
(29)
C’est une représentation approchée de la réalité car on ne peut en général pas définir exactement une variable physique, soit pour des raisons expérimentales, soit pour
des raisons plus profondes de nature quantique (relations d’incertitude de Heisenberg).
Néanmoins, si l’incertitude sur une quantité physique (position, énergie, etc.) est faible,
on peut, avec une bonne approximation, représenter la distribution de probabilité P(x)
par une distribution de Dirac.
La distribution de Dirac peut aussi être utilisée lorsque l’on veut assurer exactement la
conservation d’une quantité physique. Pour illustrer ceci sur un exemple, prenons le cas
de deux particules d’impulsions p 1 , p 2 et d’énergies cinétiques E 1 , E 2 qui subissent une
collision élastique. Après le choc, leurs impulsions et énergies cinétiques deviennent p 3 ,
p 4 et E 3 , E 4 . Soit W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) la probabilité de transition associée à ce processus.
Elle n’est différente de zéro que lorsque la conservation de l’énergie et de l’impulsion
sont satisfaites :
E 1 + E 2 = E 3 + E 4 et p 1 + p 2 = p 3 + p 4
(30)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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La généralisation à 3 dimensions de la distribution de Dirac est immédiate en coordonnées cartésiennes :
d(r − r 0 ) = d(x − x 0 ) d(y − y 0 ) d(z − z 0 )
(24)
et l’on a :
d(r − r 0 ) f (r) dr = f (r 0 )
(25)
L’élément de volume vaut dr = dx dy dz. En coordonnées sphériques, il faut faire plus
attention car ce sont des coordonnées curvilignes orthogonales et :
d(r − r 0 ) =
1
r 2 sin u
d(r − r 0 ) d(u − u 0 ) d(f − f 0 )
(26)
L’élément de volume est alors : dr = r 2 sin u dr du df.
L’expression suivante est souvent utilisée dans les calculs mettant en jeu la distribution
de Dirac :
d(x − x 0 ) =
1
2p
+∞
−∞
e ik(x − x 0 ) dk
(27)
Dont la généralisation à 3 dimensions est :
d(r − r 0 ) =
1
(2p) 3
e ik(r − r 0 ) dk
(28)
Un des intérêt de la distribution de Dirac est de pouvoir être utilisée lorsque l’on
considère une variable aléatoire continue, x, qui ne peut prendre qu’une valeur bien
déterminée, x 0 . La distribution de probabilité P(x) associée doit être normalisée et seule
la distribution de Dirac satisfait à cette condition. Donc :
P(x) = d(x − x 0 ) et
+∞
−∞
P(x) dx = 1
(29)
C’est une représentation approchée de la réalité car on ne peut en général pas définir exactement une variable physique, soit pour des raisons expérimentales, soit pour
des raisons plus profondes de nature quantique (relations d’incertitude de Heisenberg).
Néanmoins, si l’incertitude sur une quantité physique (position, énergie, etc.) est faible,
on peut, avec une bonne approximation, représenter la distribution de probabilité P(x)
par une distribution de Dirac.
La distribution de Dirac peut aussi être utilisée lorsque l’on veut assurer exactement la
conservation d’une quantité physique. Pour illustrer ceci sur un exemple, prenons le cas
de deux particules d’impulsions p 1 , p 2 et d’énergies cinétiques E 1 , E 2 qui subissent une
collision élastique. Après le choc, leurs impulsions et énergies cinétiques deviennent p 3 ,
p 4 et E 3 , E 4 . Soit W(p 1 , p 2 → p 3 , p 4 ) la probabilité de transition associée à ce processus.
Elle n’est différente de zéro que lorsque la conservation de l’énergie et de l’impulsion
sont satisfaites :
E 1 + E 2 = E 3 + E 4 et p 1 + p 2 = p 3 + p 4
(30)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.