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Physique statistique
car on peut considérer que f (x) est pratiquement constante dans l’intervalle [−´/2, +´/2].
Les g(x, ´) sont des fonctions. Toutefois, la limite de g(x, ´) lorsque ´ tend vers 0 n’est
pas une fonction mais une distribution. C’est la distribution de Dirac :
lim
´→0
g(x, ´) = d(x)
(15)
Lorsque ´ → 0, la fonction g(x, ´) devient de plus en plus piquée à l’origine et de plus
en plus étroite. Pour ´ = 0, on a en principe g(x, ´) = ∞. C’est pour cela que g(x, 0)
ne peut pas être considérée comme une fonction ordinaire. Il est important de noter que
la surface comprise entre la courbe g(x, ´) et l’axe Ox reste toujours constante et égale
à l’unité. Dans le langage du physicien on peut traduire les propriétés de la distribution
d(x) de la manière suivante :
+∞
−∞
d(x) dx = 1
(surface unité)
(16)
d(x) =
∞ pour x = 0
0 pour x = 0
et
+∞
−∞
f (x) d(x) dx = f (0)
(17)
Plus généralement, on a la relation :
+∞
−∞
f (x) d(x − a) dx = f (a)
(18)
comme on peut le vérifier par un simple changement de variable.
D’autres fonctions dont la surface sous la courbe est égale à l’unité tendent également
vers la distribution d(x). C’est en particulier le cas d’une gaussienne normalisée dont la
largeur tend vers zéro. :
d(x) = lim
´→0
1
√
2p´ 2
e −x 2 /2´ 2
(gaussienne de variance ´ 2 )
(19)
La distribution de Dirac est réelle et paire :
d(x) = d
∗ (x)
et
d(−x) = d(x)
(20)
De plus :
d(ax) =
1
| a |
d(x)
et
f (x) d(x − a) = f (a) d(x − a)
(21)
La dérivée de d(x) est définie par la relation suivante :
+∞
−∞
d
(x) f (x) dx = −
+∞
−∞
d(x) f
(x) dx = −f
(0)
(22)
en analogie avec la formule d’intégration par parties. La dérivée est une fonction impaire : d (−x) = −d (x). Pour l’intégrale du produit de deux distributions de Dirac, on
a :
+∞
−∞
d(x − a) d(x − b) dx = d(a − b)
(23)
Physique statistique
car on peut considérer que f (x) est pratiquement constante dans l’intervalle [−´/2, +´/2].
Les g(x, ´) sont des fonctions. Toutefois, la limite de g(x, ´) lorsque ´ tend vers 0 n’est
pas une fonction mais une distribution. C’est la distribution de Dirac :
lim
´→0
g(x, ´) = d(x)
(15)
Lorsque ´ → 0, la fonction g(x, ´) devient de plus en plus piquée à l’origine et de plus
en plus étroite. Pour ´ = 0, on a en principe g(x, ´) = ∞. C’est pour cela que g(x, 0)
ne peut pas être considérée comme une fonction ordinaire. Il est important de noter que
la surface comprise entre la courbe g(x, ´) et l’axe Ox reste toujours constante et égale
à l’unité. Dans le langage du physicien on peut traduire les propriétés de la distribution
d(x) de la manière suivante :
+∞
−∞
d(x) dx = 1
(surface unité)
(16)
d(x) =
∞ pour x = 0
0 pour x = 0
et
+∞
−∞
f (x) d(x) dx = f (0)
(17)
Plus généralement, on a la relation :
+∞
−∞
f (x) d(x − a) dx = f (a)
(18)
comme on peut le vérifier par un simple changement de variable.
D’autres fonctions dont la surface sous la courbe est égale à l’unité tendent également
vers la distribution d(x). C’est en particulier le cas d’une gaussienne normalisée dont la
largeur tend vers zéro. :
d(x) = lim
´→0
1
√
2p´ 2
e −x 2 /2´ 2
(gaussienne de variance ´ 2 )
(19)
La distribution de Dirac est réelle et paire :
d(x) = d
∗ (x)
et
d(−x) = d(x)
(20)
De plus :
d(ax) =
1
| a |
d(x)
et
f (x) d(x − a) = f (a) d(x − a)
(21)
La dérivée de d(x) est définie par la relation suivante :
+∞
−∞
d
(x) f (x) dx = −
+∞
−∞
d(x) f
(x) dx = −f
(0)
(22)
en analogie avec la formule d’intégration par parties. La dérivée est une fonction impaire : d (−x) = −d (x). Pour l’intégrale du produit de deux distributions de Dirac, on
a :
+∞
−∞
d(x − a) d(x − b) dx = d(a − b)
(23)