12 • L’équation de Boltzmann
247
d’une boule. Par conséquent, une collision se produit si la boule cible passe dans le
cercle de surface p(R + R) 2 = 4pR 2 . Si nous considérons une boule projectile envoyée
sur des boules cibles placées à raison d’une par unité de surface, la probabilité par unité
de surface pour qu’il y ait collision est le rapport entre la surface du cercle défini plus
haut et l’unité de surface. La section efficace est donc s = 4pR 2 . Cette quantité a bien
la dimension d’une surface.
Dans le jeu de billard que nous venons de décrire, la trajectoire suivie par la boule cible
est rectiligne jusqu’au point d’impact avec la cible. Dans beaucoup de cas la trajectoire
de la particule incidente peut être modifiée par le champ créé par la particule cible. C’est
ce qui arrive lorsque les deux particules portent une charge électrique de même signe,
par exemple. Dans ce cas, le paramètre d’impact est défini comme il est indiqué sur la
figure 2b, i.e. avant qu’une déflexion notable de la trajectoire incidente ait eu lieu (définie
en principe grâce aux directions asymptotiques).
12.3 LA DISTRIBUTION DE DIRAC
Avant d’entrer dans le vif du sujet, nous allons introduire un objet mathématique qui
permet de simplifier considérablement la description de certains phénomènes physiques.
Il s’agit de la distribution de Dirac. Nous allons en donner une brève introduction où
toute rigueur mathématique sera absente mais qui convient néanmoins à l’utilisation
élémentaire que peut en faire un physicien.
Considérons pour le moment une seule dimension et une fonction f (x). Nous allons
chercher s’il existe un objet mathématique, d(x), tel que l’égalité suivante soit satisfaite :
+∞
−∞
d(x) f (x) dx = f (0)
(11)
La réponse est qu’il n’existe pas de fonction qui satisfait à cette équation. Par contre, il
existe des objets mathématiques, appelés distributions, qui obéissent à ce type d’équation. La distribution de Dirac, d(x), en est un exemple particulier. Comme nous allons le
voir dans un instant, elle peut être obtenue comme limite d’une suite de fonctions. Pour
cela, considérons la fonction g(x, ´) définie comme :
g(x, ´) =
1/´ pour −´/2 x +´/2
0
ailleurs
(12)
La surface comprise entre la fonction g(x, ´) et l’axe Ox est égale à l’unité :
+∞
−∞
g(x, ´) dx =
+´/2
−´/2
1
´
dx = 1
(13)
Si ´ est très petit, on a :
+∞
−∞
g(x, ´) f (x) dx =
+´/2
−´/2
1
´
f (x) dx ≈ f (0)
(14)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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d’une boule. Par conséquent, une collision se produit si la boule cible passe dans le
cercle de surface p(R + R) 2 = 4pR 2 . Si nous considérons une boule projectile envoyée
sur des boules cibles placées à raison d’une par unité de surface, la probabilité par unité
de surface pour qu’il y ait collision est le rapport entre la surface du cercle défini plus
haut et l’unité de surface. La section efficace est donc s = 4pR 2 . Cette quantité a bien
la dimension d’une surface.
Dans le jeu de billard que nous venons de décrire, la trajectoire suivie par la boule cible
est rectiligne jusqu’au point d’impact avec la cible. Dans beaucoup de cas la trajectoire
de la particule incidente peut être modifiée par le champ créé par la particule cible. C’est
ce qui arrive lorsque les deux particules portent une charge électrique de même signe,
par exemple. Dans ce cas, le paramètre d’impact est défini comme il est indiqué sur la
figure 2b, i.e. avant qu’une déflexion notable de la trajectoire incidente ait eu lieu (définie
en principe grâce aux directions asymptotiques).
12.3 LA DISTRIBUTION DE DIRAC
Avant d’entrer dans le vif du sujet, nous allons introduire un objet mathématique qui
permet de simplifier considérablement la description de certains phénomènes physiques.
Il s’agit de la distribution de Dirac. Nous allons en donner une brève introduction où
toute rigueur mathématique sera absente mais qui convient néanmoins à l’utilisation
élémentaire que peut en faire un physicien.
Considérons pour le moment une seule dimension et une fonction f (x). Nous allons
chercher s’il existe un objet mathématique, d(x), tel que l’égalité suivante soit satisfaite :
+∞
−∞
d(x) f (x) dx = f (0)
(11)
La réponse est qu’il n’existe pas de fonction qui satisfait à cette équation. Par contre, il
existe des objets mathématiques, appelés distributions, qui obéissent à ce type d’équation. La distribution de Dirac, d(x), en est un exemple particulier. Comme nous allons le
voir dans un instant, elle peut être obtenue comme limite d’une suite de fonctions. Pour
cela, considérons la fonction g(x, ´) définie comme :
g(x, ´) =
1/´ pour −´/2 x +´/2
0
ailleurs
(12)
La surface comprise entre la fonction g(x, ´) et l’axe Ox est égale à l’unité :
+∞
−∞
g(x, ´) dx =
+´/2
−´/2
1
´
dx = 1
(13)
Si ´ est très petit, on a :
+∞
−∞
g(x, ´) f (x) dx =
+´/2
−´/2
1
´
f (x) dx ≈ f (0)
(14)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.