12 • L’équation de Boltzmann
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qu’elle n’en subisse pas entre 0 et t ni entre t et t + dt. Si l dt est la probabilité pour qu’il
y ait une collision entre t et t + dt, la probabilité pour qu’il n’y en ait pas dans le même
intervalle de temps est 1 − l dt (cf. exercice 9 du chapitre 3). Par conséquent :
P(t + dt) = P(t)(1 − l dt)
( 1 )
La quantité dt étant infiniment petite, on peut écrire :
P(t + dt) = P(t) +
dP(t)
dt
dt
=⇒
P(t) +
dP(t)
dt
dt = P(t) − P(t)l dt
(2)
Soit en simplifiant :
1
P(t)
dP(t)
dt
= −l
(3)
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est Ce −lt , où C est une
constante que l’on détermine grâce à la condition initiale P(0) = 1. On obtient :
P(t) = e −lt
(4)
Nous allons maintenant calculer la probabilité pour qu’une particule subisse une collision entre t et t + dt sans en avoir subi entre 0 et t. Cette quantité est proportionnelle à
dt et tend vers zéro lorsque dt → 0. Appelons la Pdt. Par définition, c’est le produit de
la probabilité P(t), pour que la particule ne subisse pas de collision entre 0 et t, par la
probabilité l dt pour qu’une collision ait lieu entre t et t + dt :
P(t)dt = e −lt l dt
(5)
La quantité P(t) = le −lt est la probabilité par unité de temps pour que la particule
subisse une collision entre t et t + dt sans en avoir subi entre 0 et t.
Les distributions de probabilité introduites ci-dessus vont nous permettre de définir
des quantités importantes lorsque l’on s’intéresse aux collisions entre les particules d’un
gaz. Nous allons tout d’abord calculer le temps moyen t entre deux collisions successives. Celui-ci est défini comme la valeur moyenne de t prise avec la distribution de
probabilité P(t). En effet, P(t) dt représente la probabilité pour qu’une particule, ayant
subi une collision à t = 0, en subisse une autre entre t et t + dt. Donc :
t =
∞
0
t P(t) dt =
∞
0
l t e
−lt dt =
1
l
(6)
L’intégrale a été évaluée en utilisant la relation (29) de l’annexe A3.2.
La distance moyenne entre deux collisions s’appelle le libre parcours moyen. Il est
défini par :
l = t
(7)
où est la vitesse moyenne des particules.
Pour un gaz, le libre parcours moyen dépend de la pression de celui-ci. Plus elle est
grande, plus la probabilité de collision entre deux particules augmente et plus le libre
parcours moyen diminue. Dans les cas usuels, le libre parcours moyen est plus petit que
les dimensions du récipient qui contient le gaz. Pour fixer les idées, le libre parcours
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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qu’elle n’en subisse pas entre 0 et t ni entre t et t + dt. Si l dt est la probabilité pour qu’il
y ait une collision entre t et t + dt, la probabilité pour qu’il n’y en ait pas dans le même
intervalle de temps est 1 − l dt (cf. exercice 9 du chapitre 3). Par conséquent :
P(t + dt) = P(t)(1 − l dt)
( 1 )
La quantité dt étant infiniment petite, on peut écrire :
P(t + dt) = P(t) +
dP(t)
dt
dt
=⇒
P(t) +
dP(t)
dt
dt = P(t) − P(t)l dt
(2)
Soit en simplifiant :
1
P(t)
dP(t)
dt
= −l
(3)
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est Ce −lt , où C est une
constante que l’on détermine grâce à la condition initiale P(0) = 1. On obtient :
P(t) = e −lt
(4)
Nous allons maintenant calculer la probabilité pour qu’une particule subisse une collision entre t et t + dt sans en avoir subi entre 0 et t. Cette quantité est proportionnelle à
dt et tend vers zéro lorsque dt → 0. Appelons la Pdt. Par définition, c’est le produit de
la probabilité P(t), pour que la particule ne subisse pas de collision entre 0 et t, par la
probabilité l dt pour qu’une collision ait lieu entre t et t + dt :
P(t)dt = e −lt l dt
(5)
La quantité P(t) = le −lt est la probabilité par unité de temps pour que la particule
subisse une collision entre t et t + dt sans en avoir subi entre 0 et t.
Les distributions de probabilité introduites ci-dessus vont nous permettre de définir
des quantités importantes lorsque l’on s’intéresse aux collisions entre les particules d’un
gaz. Nous allons tout d’abord calculer le temps moyen t entre deux collisions successives. Celui-ci est défini comme la valeur moyenne de t prise avec la distribution de
probabilité P(t). En effet, P(t) dt représente la probabilité pour qu’une particule, ayant
subi une collision à t = 0, en subisse une autre entre t et t + dt. Donc :
t =
∞
0
t P(t) dt =
∞
0
l t e
−lt dt =
1
l
(6)
L’intégrale a été évaluée en utilisant la relation (29) de l’annexe A3.2.
La distance moyenne entre deux collisions s’appelle le libre parcours moyen. Il est
défini par :
l =
(7)
où
Pour un gaz, le libre parcours moyen dépend de la pression de celui-ci. Plus elle est
grande, plus la probabilité de collision entre deux particules augmente et plus le libre
parcours moyen diminue. Dans les cas usuels, le libre parcours moyen est plus petit que
les dimensions du récipient qui contient le gaz. Pour fixer les idées, le libre parcours
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.