12 • L’équation de Boltzmann
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Un système constitué d’un grand nombre de particules possède de nombreux degrés
de liberté. La connaissance précise des propriétés de ceux-ci représente une somme d’informations qui va bien au-delà de ce que l’on peut traiter. De plus, la connaissance de
celles-ci ne présente, la plupart du temps que peu, sinon pas, d’intérêt pratique. En effet,
dans un système complexe, ce qui nous intéresse n’est pas l’évolution d’une particule
donnée mais l’existence de phénomènes collectifs. Ces derniers résultent d’un comportement cohérent (ou coopératif ) d’un ensemble de particules. Ainsi, lors de l’étude de
systèmes à N particules, on cherche souvent à mettre en évidence des phénomènes collectifs. En effet, comme ils résultent du mouvement cohérent d’un grand nombre de
particules, il conduisent à des effets macroscopiques mesurables. Ces phénomènes représentent donc une partie ordonnée de l’évolution apparemment désordonnée du système. À ces mouvements collectifs, on associe une ou des variables collectives que l’on
dénomme degrés de liberté collectifs. Citons quelques exemples :
• Prenons le cas d’un gaz parfait enfermé dans un récipient. Les particules qui frappent
les parois de manière désordonnée créent une pression P. C’est un effet collectif qui
résulte des mouvements individuels des particules. La variable P est la quantité macroscopique associée.
• Une onde sonore peut se propager dans ce gaz. C’est ce qui permet aux sons de se
transmettre. L’existence d’une onde sonore est un phénomène collectif résultant de vibrations du gaz.
• La supraconductivité ou le ferromagnétisme d’un matériau, dont nous avons parlé
dans le chapitre 10, sont aussi des phénomènes collectifs.
L’approche la plus simple d’un phénomène collectif est d’essayer de le décrire au
niveau macroscopique. Il s’agit de trouver les lois physiques auxquelles il obéit. La
deuxième étape est de comprendre ces lois physiques à l’aide de principes plus fondamentaux comme les interactions entre les particules. Cette seconde approche, beaucoup
plus complexe que la première, nécessite la plupart du temps des approximations.
Il résulte des remarques faites ci-dessus deux philosophies pour étudier les phénomènes hors d’équilibre :
• Dans la première, on considère toutes les particules constituant le système et on essaie de décrire leur évolution. C’est un problème à N corps que l’on ne sait pas résoudre
exactement dans le cas général et pour lequel il est nécessaire de faire des approximations souvent drastiques. La plus simple est l’approche de champ moyen dans laquelle
on suppose que chaque particule évolue dans le potentiel moyen créé par l’ensemble des
autres particules. Nous avons déjà évoqué cette approximation plusieurs fois, notamment dans le chapitre consacré aux transitions de phase. Pour des particules identiques,
ce type d’approximation permet de remplacer un problème à N corps par N problèmes à
un corps. Les propriétés physiques du système sont alors contenues dans la fonction de
distribution à un corps. On peut améliorer cette approche en tenant compte de manière
simplifiée de certaines corrélations entre les particules, par exemple des collisions entre
deux d’entre elles. C’est ce que nous ferons avec l’équation de Boltzmann. Ce type d’approche est très utile pour justifier des équations macroscopiques mais il est souvent très
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Un système constitué d’un grand nombre de particules possède de nombreux degrés
de liberté. La connaissance précise des propriétés de ceux-ci représente une somme d’informations qui va bien au-delà de ce que l’on peut traiter. De plus, la connaissance de
celles-ci ne présente, la plupart du temps que peu, sinon pas, d’intérêt pratique. En effet,
dans un système complexe, ce qui nous intéresse n’est pas l’évolution d’une particule
donnée mais l’existence de phénomènes collectifs. Ces derniers résultent d’un comportement cohérent (ou coopératif ) d’un ensemble de particules. Ainsi, lors de l’étude de
systèmes à N particules, on cherche souvent à mettre en évidence des phénomènes collectifs. En effet, comme ils résultent du mouvement cohérent d’un grand nombre de
particules, il conduisent à des effets macroscopiques mesurables. Ces phénomènes représentent donc une partie ordonnée de l’évolution apparemment désordonnée du système. À ces mouvements collectifs, on associe une ou des variables collectives que l’on
dénomme degrés de liberté collectifs. Citons quelques exemples :
• Prenons le cas d’un gaz parfait enfermé dans un récipient. Les particules qui frappent
les parois de manière désordonnée créent une pression P. C’est un effet collectif qui
résulte des mouvements individuels des particules. La variable P est la quantité macroscopique associée.
• Une onde sonore peut se propager dans ce gaz. C’est ce qui permet aux sons de se
transmettre. L’existence d’une onde sonore est un phénomène collectif résultant de vibrations du gaz.
• La supraconductivité ou le ferromagnétisme d’un matériau, dont nous avons parlé
dans le chapitre 10, sont aussi des phénomènes collectifs.
L’approche la plus simple d’un phénomène collectif est d’essayer de le décrire au
niveau macroscopique. Il s’agit de trouver les lois physiques auxquelles il obéit. La
deuxième étape est de comprendre ces lois physiques à l’aide de principes plus fondamentaux comme les interactions entre les particules. Cette seconde approche, beaucoup
plus complexe que la première, nécessite la plupart du temps des approximations.
Il résulte des remarques faites ci-dessus deux philosophies pour étudier les phénomènes hors d’équilibre :
• Dans la première, on considère toutes les particules constituant le système et on essaie de décrire leur évolution. C’est un problème à N corps que l’on ne sait pas résoudre
exactement dans le cas général et pour lequel il est nécessaire de faire des approximations souvent drastiques. La plus simple est l’approche de champ moyen dans laquelle
on suppose que chaque particule évolue dans le potentiel moyen créé par l’ensemble des
autres particules. Nous avons déjà évoqué cette approximation plusieurs fois, notamment dans le chapitre consacré aux transitions de phase. Pour des particules identiques,
ce type d’approximation permet de remplacer un problème à N corps par N problèmes à
un corps. Les propriétés physiques du système sont alors contenues dans la fonction de
distribution à un corps. On peut améliorer cette approche en tenant compte de manière
simplifiée de certaines corrélations entre les particules, par exemple des collisions entre
deux d’entre elles. C’est ce que nous ferons avec l’équation de Boltzmann. Ce type d’approche est très utile pour justifier des équations macroscopiques mais il est souvent très
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.