11 • Transitions de phase (II)
231
et c’est lui qui donne l’évolution en fonction de la température de C B au voisinage du
point critique :
C B ∼ |t|
(d−2y 1 )/y 1 ˜ f tt (±1, 0)
(51)
Dans la section 10.9, nous avons introduit l’exposant critique a comme C B ∼ |t| −a . En
identifiant avec l’expression ci-dessus, on obtient :
a = 2 −
d
y 1
(52)
Nous venons de calculer un exposant critique et nous voyons comment il est relié à la
dimension de l’espace d. En procédant de la même manière pour les autres exposants
critiques définis dans la section 10.9, on obtient :
b
∗ =
d − y 2
y 1
g =
2y 2 − d
y 1
et d =
y 2
(d − y 2 )
(53)
Ces quatre exposants critiques, exprimés en fonction de y 1 et y 2 , ne sont pas indépendants. En utilisant leur définition, on trouve les relations :
a + 2b + g = 2 et g = b(d − 1)
(54)
Ces relations sont des égalités alors qu’un calcul thermodynamique ne donne que des
inégalités. De plus, la méthode du groupe de renormalisation montre que les exposants
décrivant le comportement d’une quantité thermodynamique sont les mêmes que l’on
aborde le point critique de dessus ou du dessous. En effet, le comportement au voisinage
du point critique ne dépend pas du signe de t.
11.2.4 Validité de l’approche de champ moyen
Après avoir donné quelques notions sur la méthode du groupe de renormalisation, nous
allons revenir sur l’approche de champ moyen pour en discuter la limite de validité. Les
théories de champ moyen supposent que les fluctuations sont faibles. Ce n’est certainement pas le cas au voisinage du point critique. Ceci se traduit par le fait que, pour
beaucoup de systèmes réels, l’approche de champ moyen ne permet pas de reproduire
la valeur des exposants critiques. L’approximation de champ moyen n’est valable que
lorsque les fluctuations sont négligeables. Néanmoins, on observe que les exposants critiques sont bien reproduits lorsque la dimension de l’espace décrivant le système est
grande et, pour d > 4, on obtient des résultats corrects. En première approximation, on
peut comprendre ceci en remarquant qu’il est moins grave de négliger les fluctuations
lorsque le nombre de voisins augmente, ce qui est le cas lorsque la dimensionalité du
système augmente. La théorie de champ moyen devient correcte dans la limite d → ∞
mais, comme nous l’avons dit, les exposants critiques calculés sont bons dès que d > 4.
Le gros intérêt de l’approximation de champ moyen est sa simplicité comparée à d’autres
approches. Elle donne une première idée des phénomènes et constitue un excellent point
de départ pour des descriptions plus sophistiquées. De plus, elle permet de bien contrôler
les paramètres physiques et de voir leur influence. Toutes ces raisons font que c’est une
approche très utilisée dans l’étude des transitions de phase.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
231
et c’est lui qui donne l’évolution en fonction de la température de C B au voisinage du
point critique :
C B ∼ |t|
(d−2y 1 )/y 1 ˜ f tt (±1, 0)
(51)
Dans la section 10.9, nous avons introduit l’exposant critique a comme C B ∼ |t| −a . En
identifiant avec l’expression ci-dessus, on obtient :
a = 2 −
d
y 1
(52)
Nous venons de calculer un exposant critique et nous voyons comment il est relié à la
dimension de l’espace d. En procédant de la même manière pour les autres exposants
critiques définis dans la section 10.9, on obtient :
b
∗ =
d − y 2
y 1
g =
2y 2 − d
y 1
et d =
y 2
(d − y 2 )
(53)
Ces quatre exposants critiques, exprimés en fonction de y 1 et y 2 , ne sont pas indépendants. En utilisant leur définition, on trouve les relations :
a + 2b + g = 2 et g = b(d − 1)
(54)
Ces relations sont des égalités alors qu’un calcul thermodynamique ne donne que des
inégalités. De plus, la méthode du groupe de renormalisation montre que les exposants
décrivant le comportement d’une quantité thermodynamique sont les mêmes que l’on
aborde le point critique de dessus ou du dessous. En effet, le comportement au voisinage
du point critique ne dépend pas du signe de t.
11.2.4 Validité de l’approche de champ moyen
Après avoir donné quelques notions sur la méthode du groupe de renormalisation, nous
allons revenir sur l’approche de champ moyen pour en discuter la limite de validité. Les
théories de champ moyen supposent que les fluctuations sont faibles. Ce n’est certainement pas le cas au voisinage du point critique. Ceci se traduit par le fait que, pour
beaucoup de systèmes réels, l’approche de champ moyen ne permet pas de reproduire
la valeur des exposants critiques. L’approximation de champ moyen n’est valable que
lorsque les fluctuations sont négligeables. Néanmoins, on observe que les exposants critiques sont bien reproduits lorsque la dimension de l’espace décrivant le système est
grande et, pour d > 4, on obtient des résultats corrects. En première approximation, on
peut comprendre ceci en remarquant qu’il est moins grave de négliger les fluctuations
lorsque le nombre de voisins augmente, ce qui est le cas lorsque la dimensionalité du
système augmente. La théorie de champ moyen devient correcte dans la limite d → ∞
mais, comme nous l’avons dit, les exposants critiques calculés sont bons dès que d > 4.
Le gros intérêt de l’approximation de champ moyen est sa simplicité comparée à d’autres
approches. Elle donne une première idée des phénomènes et constitue un excellent point
de départ pour des descriptions plus sophistiquées. De plus, elle permet de bien contrôler
les paramètres physiques et de voir leur influence. Toutes ces raisons font que c’est une
approche très utilisée dans l’étude des transitions de phase.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.